5.3.2函数的极值教案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2函数的极值教学设计 课题 函数的极值 单元 第二单元 学科 数学 年级 高二 教材分析 《函数的极值》是2019人教A版数学选择性必修第二册第五章的内容。本节课的主要内容是利用导数研究函数的极值。 学生已经学习了导数概念，导数几何意义，导数计算，函数单调性等知识，对函数单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具备一定的储备。函数极值与最值是函数的一个中心性质。在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用。 本节课主要学习函数极值的概念和极值的求法，以及求极值与导数的关系，关键是函数极值的判断方法和求函数极值的步骤，理解它关键是要掌握函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。 教学 目标与 核心素养 1数学抽象： 求函数极值的方法 2逻辑推理： 导数值为零与函数极值d 关系 3数学运算： 运用导数求函数极值 4数学建模： 函数极值 5直观想象： 导数与极值的关系 6数据分析： 通过 “函数极值的概念—函数极值与导数的关系—求函数极值的方法与步骤—例题讲解—练习巩固”的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。 重点 求函数极值 难点 函数极值与导数的关系 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 问题： 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 问题引入 创设问题情景，为引出函数的极值做铺垫 讲授新课 1函数的极值 观察图5.3-9，我们发现，当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大.那么，函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变化规律？ 放大t=a附近的函数 h(t)的图象，如图5.3-10.可以看出，；在t=a的附近， 当t<a时，函数 h(t)单调递增，； 当t>a时，函数 h(t)单调递减，. 这就是说，在t=a附近，函数值先增（当t<a时，）后减（当t >a时，）.这样当t在a的附近从小到大经过a时，先正后负，且连续变化，于是有. 对于一般的函数y=f(x),是否也有同样的性质呢？ 探究 如图5.3-11， 函数y=f(x)在x=a, b, c, d, e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f(x)的导数的正负性有什么规律？ 以 x=a, b两点为例，可以发现，函数 y=f(x)在点 x=a的函数值 f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，；而且在点x=a附近的左侧，右侧. 类似地， 函数 y=f(x)在点 x=b的函数值 f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，；而且在点x=b附近的左侧，右侧. 我们把a叫做函数 y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值；b叫做函数 y=f(x)的极大值点， f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. 例5 求函数的极值. 解：因为 ，所以 . 令，解得 x=-2，或x=2. 当x变化时，， f(x)的变化情况如下表所示. x -2 (-2,2) 2 + 0 - 0 + f(x) 单调递增 单调递减 单调递增 因此， 当x=-2时， f(x)有极大值，并且极大值为 当x=2时， f(x)有极小值，并且极小值为 函数的图象如图5.3-12所示. 思考 导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，对于函数，我们有.虽然，但由于无论x>0，还是x<0，恒有，即函数 是增函数，所以0不是函数 的极值点.一般地，函数 y=f(x)在一点的导数值为0是函数 y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件. 一般地，可按如下方法求函数 y=f(x)的极值： 解方程，当 时： （1）如果在附近的左侧 ，右侧，那么是极大值； （2）如果在附近的左侧 ，右侧 ，那么是极小值. 课堂练习： 1判断正误． (1)函数的极大值一定比极小值大．(　　) (2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0 是x0为极值点的充要条件．(　　) (3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　　) (4)单调函数不存在极值．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4) √ 2已知定义在R上的函数f(x)恰有3个极值点，则 f(x)的导函数的图象可能为（） 答案：D 解：对于处处可导的函数，函数