数列中的新定义问题 专题教案-2024届高三数学一轮复习

数列中的新定义问题 【教学目标】： （1）会运用等差数列、等比数列以及求数列通项、求前n项和等基础知识. （2）掌握新定义数列的解答方法. （3）会用数列的知识解决新定义数列的求通项、求前n项和的问题. 【教学重点】： （1）会用数列的知识解决新定义数列的求通项、求前n项和的问题. （2）掌握新定义数列的解答方法. 【教学难点】： 借用数列的知识，掌握不同类型的新定义数列问题. 【核心素养】： 数学运算、逻辑推理、数学抽象. 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 知识回顾 求数列通项和前n项和的常见类型 回顾求数列的通项和前n项和的常见解法.引入本节课的数列新定义的数列问题. 例题精讲 题型一、含有的类型 【例1】已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，满足Sn－n2＝n(an－1)． (1)证明数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足bn＝(－1)n·n(an＋2n－4)＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn． 解析　(1)an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋7． (2)由(1)得bn＝(－1)nn(an＋2n－4)＋2n＝(－1)n3n＋2n， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(－3×1＋2×1)＋(3×2＋2×2)＋(－3×3＋2×3)＋(3×4＋2×4)＋…＋(－1)n3n＋2n ＝－3[1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n＋1n]＋2(1＋2＋3＋4＋…＋n)， 于是当n为奇数时，Tn＝－3×＋n(n＋1)＝； 当n为偶数时，Tn＝＋n(n＋1)＝． 所以数列{bn}的前n项和Tn＝ 【变式】 (1)数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(　　) A．200　　　　　　　　B．－200　　　　　　　　C．400　　　　　　　　D．－400 答案　B　 题型二、数列重组问题 【例2】已知等差数列和等比数列满足，，，. （1）求和的通项公式； （2）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和. 【解析】（1），. （2）当的前60项中含有的前6项时，令， 此时至多有项（不符）. 当的前60项中含有的前7项时，令， 且，，是和的公共项，则的前60项中含有的前7项且含有的前56项，再减去公共的三项. ∴. 题型三、数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n)) 【例3】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋an＝4n． (1)求数列{an}的前100项和S100； (2)求数列{an}的通项公式． 解析　(1)∵a1＝1，an＋1＋an＝4n， ∴S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100) ＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99)＝4×502＝10 000． (2)由题意，an＋1＋an＝4n，①，an＋2＋an＋1＝4(n＋1)，② 由②－①得，an＋2－an＝4，由a1＝1，a1＋a2＝4，所以a2＝3． 当n为奇数时，an＝a1＋×4＝2n－1，当n为偶数时，an＝a2＋×4＝2n－1． 综上所述，an＝2n－1． 先引入简单的新定义数列问题，使学生熟悉题目，在听过考试中常见的数列重组问题，建立学生学习的信心，使学生学有所得。过程中精讲详讲相结合。 课堂训练 【变式】在数列{an}中，已知a1＝1，an·an＋1＝n，记Sn为{an}的前n项和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*． (1)判断数列{bn}是否为等比数列，并写出其通项公式； (2)求数列{an}的通项公式； (3)求Sn． 解析　(1)因为an·an＋1＝n，所以an＋1·an＋2＝n＋1，所以＝，即an＋2＝an．因为bn＝a2n＋a2n－1， 所以＝＝＝，所以数列{bn}是公比为的等比数列． 因为a1＝1，a1·a2＝，所以a2＝，b1＝a1＋a2＝，所以bn＝×n－1＝，n∈N*． (2)由(1)可知an＋2＝an，所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，为公比的等比数列； a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，为公比的等比数列，所以a2n－1＝n－1，a2n＝n，所以an＝ (3)因为S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－，又S2n－1＝S2n－a2n＝3－－＝3－. 通过例题与练习加深对该方法的理解。计算有学生自己独立完成。 方法小结 数列中新定义问题的常见类型 1、 含有的类型 2、 等差数列等比数列重组问题 3、 数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n)) 总结方法，归纳题型