1.1 第2课时 递推公式与数列的函数特性（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

[对应学生用书P167]

1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(　　)

A．an＋1＝an＋n(n∈N＋)

B．an＝an－1＋n(n≥2，n∈N＋)，a1＝1

C．an＋1＝an＋(n－1)(n∈N＋)

D．an＝an－1＋(n－1)(n≥2，n∈N＋)，a1＝1

B　解析：观察数列的前五项，发现相邻两项的后一项比前一项大后一项的序号数，故an＝an－1＋n(n≥2，n∈N＋)，a1＝1.

2．已知数列{an}满足a1>0，2an＋1＝an，则数列{an}是(　　)

A．递增数列     B．递减数列

C．常数列     D．以上都不对

B　解析：∵a1>0，2an＋1＝an，

∴an>0，＝<1.

∴an＋1<an.∴数列{an}是递减数列．

3．已知数列{an}的通项公式为an＝n－7＋2，则此数列中数值最小的项是(　　)

A．第10项     B．第11项

C．第12项     D．第13项

C　解析：因为an＝n－7＋2＝(－)2－，所以易知当n＝12时，an取得最小值，即此数列中数值最小的项是第12项．

4．一给定函数y＝f(x)的图象在下列图中，并且对任意a0∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1>an，则该函数的图象是(　　)

A　解析：由an＋1＝f(an)，an＋1>an，得f(an)>an，即f(x)>x，结合图象知A正确．

5．(多选题)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－(n∈N＋)，下列选项中能使an＝3的n为(　　)

A．17     B．16

C．8     D．7

BD　解析：由a1＝3，an＋1＝－，得a2＝－，a3＝－，a4＝3，

所以数列{an}是周期为3的数列，所以a8＝a17＝－，a7＝a16＝3.

6．已知数列{an}为递增数列，通项公式为an＝n＋，则λ的取值范围是________．

(－∞，2)　解析：因为数列{an}为递增数列，an＝n＋，所以an＋1－an＝－(n＋)＝1－>0，即λ<n(n＋1)(n∈N＋).所以λ<2.

7．已知数列{an}中，a1＝1，＝，则an＝________．

()n－1　解析：方法一　由题意可知，a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，…，所以an＝.当n＝1时，a1＝＝1，符合上式，故an＝()n－1.

方法二　当n≥2时，an＝··…···a1＝()n－1·1＝()n－1.当n＝1时，a1＝()1－1＝1，符合上式，故an＝()n－1.

8．已知数列{an}的通项公式为an＝()n－1－()n－1，在下列说法中：①有最大项；②有最小项；③没有最大项；④没有最小项．正确的是________．(填序号)

①②　解析：令t＝()n－1，t∈(0，1]，t是关于n的减函数，则an＝t2－t＝(t－)2－.由复合函数的单调性知an既有最大项又有最小项，故①和②正确．

9．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20.

(1)－60是否是该数列中的项，若是，求出项数；该数列中有小于0的项吗？共有多少项？

(2)当n为何值时，an有最小值？并求出最小值．

解：(1)由n2－21n＋20＝－60得n＝5或n＝16，所以数列的第5项和第16项都为－