1.3.1 等比数列及其通项公式（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

[对应学生用书P177]

1．(多选题)下列说法中，错误的是(　　)

A．等比数列中的某一项可以为0

B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞)

C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1

D．若数列{an}是等比数列，则{2an}也是等比数列

AB　解析：根据等比数列的定义可知，A，B错误，C，D正确．

2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于(　　)

A．4    B．5    C．6     D．7

D　解析：因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.

3．等比数列{an}的各项均为正数，且a4a6＋a3a7＝18，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a9＝(　　)

A．12    B．10    C．9     D．8

C　解析：由等比数列的性质得，a4a6＝a3a7，因为a4a6＋a3a7＝18，所以a4a6＝a＝9，

所以a5＝3或a5＝－3(舍去)，所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a9＝log3(a1·a2·a3…a9)＝log3(a5)9＝9log3a5＝9.

4．(多选题)下列选项中，不是{an}成等比数列的充要条件是(　　)

A．an＋1＝an·q(q为常数)

B．an＝a1qn－1(q为常数)

C．a＝an·an＋2≠0

D．an＋1＝

ABD　解析：对于A.当q＝0，an＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；

对于B.当q＝0，a1＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；

对于C.根据等比数列等比中项可以判定此数列为等比数列，故正确；

对于D.

当an＝0，an＋1＝0，an＋2＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误．

5．在等比数列{an}中，各项均为正数，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________．

　解析：因为a6a10＝a，a3a5＝a，所以a＋a＝41.

又因为a4a8＝5，an>0，所以a4＋a8＝＝＝.

6．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则＝________．

3＋2　解析：设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题设a1，a3，2a2成等差数列可得a1＋2a2＝a3，即q2－2q－1＝0，所以q＝＋1，＝＝q2＝3＋2.

7．设x，y，z是实数，9x，12y，15z成等比数列，且，，成等差数列，则＋的值是________．

　解析：由题意可得所以y＝.

所以()2＝135xz.化简得15x2＋15z2＝34xz，两边同时除以15xz可得＋＝.

8．已知{an}为等比数列．

(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；

(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．

解：(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25，

∵an>0，∴a3＋a5>0.∴a3＋a5＝5.

(2)根据等比数列的性质a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，

所以a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95.

所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10

＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.

9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．

证明：∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.

∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)

＝2an＋1－2an.

∴an＋1＝2an.

又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.

又由an＋1＝2an知an≠0，∴＝2.