5.3.2 函数的最大（小）值 第2课时教案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

函数的最大（小）值教学设计 课题 函数的最大（小）值 单元 第二单元 学科 数学 年级 高二 教材分析 《函数的最大（小）值》是2019人教A版数学选择性必修第二册第五章的内容。本节课的主要内容是利用导数研究函数的极值。 学生已经学习了导数概念，导数几何意义，导数计算，函数单调性等知识，对函数单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具备一定的储备。函数极值与最值是函数的一个中心性质。在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用。 本节课主要学习函数最大（小）值的概念和求法，以及求函数最大（小）值的步骤，并能灵活应用，解决一下简单的实际问题。 教学 目标与 核心素养 1数学抽象： 求函数的最大（小）值的方法 2逻辑推理： 函数极值与函数的最大（小）值的关系 3数学运算： 运用导数求函数的最大（小）值 4数学建模： 函数的最大（小）值 5直观想象： 最值与极值的关系 6数据分析：通过 “函数最值的概念—函数最值的求法—求函数最值的步骤—例题讲解—练习巩固”的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。 重点 求函数最值的方法及应用 难点 函数的最大（小）值的概念及其与函数极值的区别与联系 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 问题：求函数极值的一般方法是？ 提示： 解方程，当 时： （1）如果在附近的左侧 ，右侧，那么是极大值； （2）如果在附近的左侧 ，右侧 ，那么是极小值. 问题引入 温故而知新 讲授新课 2 函数的最大（小）值 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说，如果是函数 y=f(x)的极大（小）值点，那么在附近找不到比更大（小）的值.但是在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小.如果在某个区间上函数 y=f(x) 的最大（小）值点，那么不小（大）于函数 y=f(x)在此区间上的所有函数值 图5.3-13是函数 y=f(x)，的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？ 观察图象，我们发现， 是函数 y=f(x)的极小值， 是函数 y=f(x)的极大值. 探究 进一步地，你能找出函数 y=f(x)在区间[a, b]上的最小值，最大值吗？ 从图5.3-13可以看出 ，函数 y=f(x)在区间[a, b]上的最小值是 ，最大值是 f(a). 在图5.3-14、图5.3-15中， 观察[a, b]上的函数 y=f(x)和 g=f(x)的图象，它们在[a, b]上有最小值，最大值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ 一般地，如果在区间[a, b]上的函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 结合图5.3-14、图5.3-15，以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值. 例6 求函数在区间[0,3]上的最大值与最小值. 解：由例5可知，在[0,3]上， 当x=2时，函数有极小值，并且极小值为 . 又由于f(0)=4， f(3)=1， 所有，函数在区间[0,3]上的最大值是4，最小值是. 上述结论可以从函数在区间[0,3]上的图象（图5.3-16）得到直观验证. 规律方法 一般地，求函数 y=f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数 y=f(x)在区间（a, b）上的极值； （2）将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)， f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 证明：当x>0时， 证明： 将不等式①转化为 设 ，那么 令，解得x=1. 当x变化时，的变化情况如下表所示. x (0,1) 1 - 0 + s(x) 单调递减 0 单调递增 所以，当 x=1时，s(x)取得最小值.所以 即 所以，当x>0时， 下面我们通过实例说明如何利用导数解决与函数相关的问题. 例7 给定函数 . （1）判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值； （2）画出函数f(x)的大致图象； （3）求出方程f(x)=a 的解的个数. 解：（1）函数的定义域为 . 令 ，解得x=-2 . ， f(x) 的变化情况如下表所示. x -2 - 0 + f(x) 单调递减 单调递增 所以， f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增. 当x=-2时， f(x)有极小值 . （2）令 f(x)=0，解得 x=-1 . 当x<-1时， f(x)<0；当x>-1时， f(