5.3.1函数的单调性 教案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

5.3.1函数的单调性教学设计 课题 函数的单调性 单元 第二单元 学科 数学 年级 高二 教材分析 《函数的单调性》是2019人教A版数学选择性必修第二册第五章的内容。本节课的主要内容是利用导数研究函数的单调性。 单调性是函数的重要性质，反映了函数的变化趋势，高一时我们已经学习了通过图象和定义判断函数单调性，但是大多数函数的图象不容易做，对于含字母的代数式来说，定义法通常比较麻烦，有时甚至比较困难，因此这两种方法都有其局限性。通过前面的学习，我们知道，导数是关于瞬时变化率的数学表达，定量地刻画了函数的局部变化，因此，可以利用导数精确地研究函数的性质。 利用导数研究函数的单调性是导数的一个重要应用，同时，也为后面学习函数的极值奠定基础，因此，本节课具有承上启下的作用。 教学 目标与 核心素养 1数学抽象： 导数正负与函数单调性的关系 2逻辑推理： 运用导数正负判断函数的单调性 3数学运算： 函数单调区间的求解 4数学建模： 函数单调性与导数正负之间的关系 5直观想象： 导数与函数单调性的关系 6数据分析：通过 “导数的正负判断函数的单调性—例题讲解—练习巩固”的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。帮助学生形成通过数据认识事物的思维品质，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验。 重点 理解函数单调性与导数正负之间的关系 难点 运用导数判断函数的单调性 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质.在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节我们就来讨论这个问题. 复习引入 问题引入 温故而知新，提出问题，引导学生运用导数研究函数的单调性。 讲授新课 问题： 判断函数单调性的方法有哪些？ 1定义法 2图象法+ 3 性质法：（增+增→增，减+减→减，复合函数单调性“同增异减”等） 4 导数法 思考 图（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数 的图象，图（2）是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数 的图象. ,b 是函数h(t)的零点. 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ 观察图象可以发现： （1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t) 单调递增. 相应地， （2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t) 单调递减. 相应地， . 思考 我们看到，函数h(t) 单调性与的正负有内在联系.那么，我们能否由的正负来判断函数 h(t)的单调性呢？ 对于高台跳水问题，可以发现： 当，函数 h(t)的图象是“上升”的，函数 h(t)在(0,a)上单调递增； 当，函数 h(t)的图象是“下降”的，函数 h(t)在(a,b)上单调递减. 这种情况是否具有一般性呢？ 观察 观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负关系. 如图 导数 表示函数y=f(x)的图象在点 处的切线的斜率. 可以发现： 在 处，，切线是“左下右上”的上升式，函数 f(x)的图象也是上升的，函数 f(x)在 附近单调递增； 在 处，，切线是“左上右下”的下降式，函数 f(x)的图象也是下降的，函数 f(x)在 附近单调递减. 一般地，函数 f(x)的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系： 在某个区间（a, b）上，如果，那么函数y=f(x)在区间（a, b）上单调递增； 在某个区间（a, b）上，如果，那么函数y=f(x)在区间（a, b）上单调递减. 例1 利用导数判断下列函数的单调性： （1） （2） （3） 解： （1）因为 ，所以 所以，函数 在R上单调递增，如图（1）所示. （2）因为 ，所以 所以，函数 上单调递减，如图（2）所示. （3）因为 所以 所以，函数 上单调递增，如图（3）所示. 例2 已知导函数的下列信息： 当1<x<4时， 当x<1, 或x>4时， 当x=1,或 x=4时， 试画出函数f(x)图象的大致形状. 解： 当1<x<4时， ，可知f(x)在区间（1，4）上单调递增； 当x<1, 或x>4时，，可知f(x)在区间（，1）和（4，+）上都单调递减； 当x=1,或 x=4时，，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”. 综上，函数f(x)图象的大致形状如图5.3-5所示. 下面利用