4.2.2等差数列前n项和的性质及应用第2课时 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

4.2.2 等差数列的前n项和的 性质及应用（第2课时） 人教A版（2019） 选择性必修第二册 新知导入 等差数列前n项和公式？ 提示： ① 推导等差数列前n项和的方法“倒序相加法”. ② 方程（组）思想的应用，“知三求一”，“知三求二”. ③ 等差数列前 n 项和可以转化为关于n的一元二次函数(d≠0)或一次函数(d=0) . 新知讲解 拓展 等差数列前n项和的常用性质 设等差数列的前n项和为 ，则 1. 数列是等差数列 (p、q为常数) 数列是等差数列. 2. 等差数列的依次k项之和，公差为的等差数列. 3. 若表示奇数项的和， 表示偶数项的和，公差为d， ① 当项数为偶数2n时， ， ② 当项数为偶数2n-1时， ， , 合作探究 例8 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，问第1排应安排多少个座位. 分析： 将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列. 设数列的前n项和为. 由题意可知，是等差数列，并且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前n项和公式求首项. 解： 设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位依次排成一列，构成等差数列，其前n项和为. 根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且 . 由，可得 . 因此，第1排应安排21个座位. 合作探究 例9 已知等差数列的前n项和为，若，公差d=-2，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值是n的值；若不存在，说明理由. 分析： 由和，可以证明是递减数列，且存在正整数 k , 使得当时，，递减. 这样，就把求的最大值转化为求的所有正数项的和. 另一方面，等差数列的前n项和公式可写成 所以当 时， 可以看成是二次函数 当 x=n 时的函数值 如图4.2-4，当 时， 关于n的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点. 因此，可以利用二次函数求出相应的n, 的值, 合作探究 例9 已知等差数列的前n项和为，若，公差d=-2，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值是n的值；若不存在，说明理由. 解法1： 由，得 所以是递减数列. 又由，可知： 当时， 所以 . 也就是说，当n=5或6时，最大. 因为， 所以的最大值为30. 由，得 ，所以是递减数列. 当时， 当时， 合作探究 例9 已知等差数列的前n项和为，若，公差d=-2，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值是n的值；若不存在，说明理由. 解法2： 因为 ， 所以，当n取与最接近的正数即5或6时，最大，最大值为30. 合作探究 思考 在例9中，当d=-3.5时，有最大值吗？结合例9考虑更一般的等差数列前n 项和的最大值问题 提示： 结合对应的二次函数知，有最大值，当n=3时，取到最大值. 合作探究 拓展： 等差数列前n项和的最值 （1）二次函数法： （2）图象法： （3） 邻项变号法： 将配方，转化为二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决。但要注意 当 d>0时， 有最小值；当 d<0时， 有最大值； 且n取最接近对称轴的自然数时，取到最值 当时，满足 的项数n使取得最大值. 当时，满足 的项数n使取得最小值. 利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使取得最值. 课堂练习 1（例题改编） 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，求第21项到第30项的和. 解法1： 设等差数列的首项为，公差为d，得 ， . 所以 解方程组，得 所以 ，于是 所以第21项到第30项的和为1510. 课堂练习 解法2： 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，求第21项到第30项的和. 数列，， 构成等差数列 即310，910，成等差数列 所以 所以 课堂练习 2 在等差数列中，，，则此数列前20项的和等于多少？ 解：等差数列中， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴此数列前20项的和 所以，此数列前20项的和等于320. 课堂练习 3 已知数列， 均为等差数列，其前n项和分别为，且，则 解： 由等差数列的性质知 . 课堂练习 4 等差数列共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________． 解法1： 解法2： ∵ ， ∴ ∴ 解得 n=10 由题意可得 上面两式相比，得 解得 n=10 10 课堂练习 5 在等差数列中，设为其前n项和，且，当取得最大值时，n的值为____.