4.3.1等比数列的概念及通项公式第1课时 教案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

等比数列的概念及通项公式教学设计 课题 等比数列的概念及通项公式 单元 第一单元 学科 数学 年级 高二 教材分析 《等比数列》是人教A版数学选择性必修第二册第四章的内容。本节是数列这一章的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 等比数列是另一个常见的简单数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，给出等比中项的概念，进而研究图象，最后是通项公式的应用。 教学 目标与 核心素养 1数学抽象： 等比数列的概念 2逻辑推理： 等比数列通项公式的推导 3数学运算： 等比数列通项公式的运用 4数学建模： 等比数列的函数特征 5直观想象： 等比数列与指数函数的关系 6数据分析： 学习等比数列的概念 ，同时探究等比数列通项公式的推导方法，提高学生数学判断的能力，以及参与数学活动的能力 重点 等比数列、等比中项的概念、等比数列的通项公式 难点 等比数列通项公式的推导和运用 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 将一张很大的薄纸对折，对折30次后有多厚？不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米。 1 看一看 纸的厚度的变化 提示： 折1次 折2次 折3次 折4次 … 折30次 厚度 2 4 8 16 … 2 想一想 你能折到30次吗？ 当折到30次时（纸的厚度为0.01毫米），估算纸的厚度。 提示： 30次后，纸厚度为 （米） 这个厚度超过了世界最高的山峰——珠穆朗玛峰的高度。如果纸再薄一些，比如纸厚0.001毫米，对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了。 情景引入 大家动手操作，看能折多少次？ 目前，查到的，用工业上用的压轧机，最多就是13次。大家也可以自己去查阅资料。 通过让学生动手做小实验，激发兴趣 这种折纸的方式涉及到我们学过的哪些数学知识？ 指数 科学是需要想象的 讲授新课 等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ 等比数列的概念 请看下面几个问题中的数列. 1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面的数列： ； ① ； ② . ③ 2.《庄子•天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 . ④ 3. 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数是 2，4，8，16，32，64，… ⑤ 4. 某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 ⑥ 探究 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ 我们可以通过除法运算研究以上数列的取值规律. 如果用表示数列①，那么有 ，，…， . 这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项比都等于9. 其余几个数列也有这样的取值规律，请你写出相应的规律. 思考 类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然） 即 注： (1)“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项； (2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”； (3)任意一项 (4)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即 或 . 特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为非零常数列，非零常数列是特殊的等比数列． 例如，数列①~⑥的公比依次是9，100，5，，2，1+r . 等比中项 与等差数列类似，如果在a和b中间插入一个数G，使a，G，b 成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 此时 . 注： (1) G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项． ，即等比中项有两个，且互为相反数． (2) 当时，G不一定是a与b的等比中项．例如 ，但0,0,5不是等比数列． 探究 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等比数列的公比为q，根据等比数列的定义，可得 . 所以 , , …… 由此可得