专题02 一定是直角三角形吗-2023-2024学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题02一定是直角三角形吗 【知识梳理】 知识点01勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 【点石成金】 （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 知识点02如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 【点石成金】 当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 知识点03互逆命题 如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题. 【点石成金】 原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题. 知识点04勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 ①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 【点石成金】 （1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长； 【题型探究】 题型一是否能构成直角三角形 1. 为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，下列说法： ①能组成一个三角形 ②能组成三角形 ③能组成直角三角形 ④能组成直角三角形 其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C； 【解析】因为，两边之和等于第三边，故不能组成一个三角形，①错误；因为，所以能组成三角形，②正确；因为，所以，即，③正确；因为，所以④正确. 2．已知三角形的三边长为(其中)，则此三角形( )． A.一定是等边三角形 B.一定是等腰三角形 C.一定是直角三角形 D.形状无法确定 【答案】C； 【解析】，满足勾股定理的逆定理. 3．三角形的三边长分别为 、、（都是正整数），则这个三角形是（ ） A．直角三角形 B． 钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】A； 【解析】，满足勾股定理的逆定理. 4. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　） A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CF、EF D．GH、AB、CD 【答案】B； 【解析】，所以这三条线段能构成直角三角形. 题型二、勾股定理的逆定理 5.判断由线段组成的三角形是不是直角三角形． （1）＝7，＝24，＝25； （2）＝，＝1，＝； （3），，()； 【点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形． 【解析】 解：（1）∵ ，， ∴ ． ∴ 由线段组成的三角形是直角三角形． （2）∵ ，，， ∴ ． ∴ 由线段组成的三角形不是直角三角形． （3）∵ ， ∴ ，． ∵， ， ∴ ． ∴ 由线段组成的三角形是直角三角形． 【总结】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证与是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形． 6.如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数． 【解析】 解：∵ AB⊥AD，∴ ∠A＝90°， 在Rt△ABD中，． ∴ BD＝4， ∴ ，可知∠ADB＝30°， 在△BDC中，，， ∴ ，∴ ∠BDC＝90°， ∴ ∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝30°+90°＝120°． 【总结】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理． 7．如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°． 【解析】 证明：连接AC． ∵AB=20，BC=15，∠B=90°， ∴由勾股定理，得AC2=202+152=625． 又CD=7，AD=24， ∴CD2+AD2=6