专题01 探索勾股定理-2023-2024学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题01探索勾股定理 【知识梳理】 知识点01勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么． 【点石成金】 （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系． （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的． （3）理解勾股定理的一些变式： ，， ． 知识点02勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 图（1）中，所以． 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以． 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． ，所以． 知识点03勾股定理的作用 1、已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2、用于解决带有平方关系的证明问题； 3、与勾股定理有关的面积计算； 【题型探究】 题型一勾股定理的直接运用 1.在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、． （1）若＝5，＝12，求； （2）若＝26，＝24，求． 【点拨】利用勾股定理来求未知边长． 【解析】 解：（1）因为△ABC中，∠C＝90°，，＝5，＝12， 所以．所以＝13． （2）因为△ABC中，∠C＝90°，，＝26，＝24， 所以．所以＝10． 【总结】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式． 2.在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、． （1）已知＝6，＝10，求； （2）已知，＝32，求、． 【答案】 解：（1）∵ ∠C＝90°，＝6，＝10， ∴ ， ∴ ＝8． （2）设，， ∵ ∠C＝90°，＝32， ∴ ． 即． 解得＝8． ∴ ，． 题型二勾股定理的证明 3.在△ABC中，AB=AC，D是BC延长线上的点，求证： 【解析】 证明：作等腰三角形底边上的高AE ∵AB=AC，AE⊥BC ∴BE=EC,∠AEB=∠AEC=90° ∴ 【总结】解决带有平方关系的问题，关键是找出直角三角形，利用勾股定理进行转化，若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再利用勾股定理解题． 题型三与勾股定理有关的线段长 4.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长． 【解析】 解：连接BD， ∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点， ∴BD⊥AC（三线合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°， ∴∠C=45°， ∴∠ABD=∠C， 又∵DE丄DF， ∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF， ∴∠FDC=∠EDB， 在△EDB与△FDC中， ∵， ∴△EDB≌△FDC（ASA）， ∴BE=FC=3， ∴AB=7，则BC=7， ∴BF=4， 在Rt△EBF中， EF2=BE2+BF2=32+42， ∴EF=5． 【总结】此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形全等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的长． 5.如图，∠C=30°，PA⊥OA于A，PB⊥OB于B，PA=2，PB=11，求OP的长． 【答案】 解：∵PA⊥OA，∠C=30°， ∴PC=2PA=4， ∴BC=BP+PC=11+4=15， ∵PB⊥OB，∠C=30°， 设OB=x，则OC=2x， 在Rt△BOC中，由勾股定理得： x+15=（2x）， 解得，x=5， 即OB=5， ∴OP===14． 题型五利用勾股定理解决实际问题 6．如图，有两棵树，一棵高8，另一棵高2，两树相距8，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______． 【答案】10； 【解析】∵=100，∴飞行距离为10m． 7.一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【点拨】（1）利用勾股定理直接得出AB的长即可；（2）利用勾股定理直接得出BC′的长，进而得出答案． 【解析】 解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米， AB==24（米）， 答：这个梯子的顶端距地面有24米； （2）由题意得：BA′=20米， BC′==15（米）， 则：CC′=15﹣7=8（米）， 答：梯子的底端在水平方向滑动了8米． 【总结】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键． 8.如图所示，一旗杆在离地面5处断裂，旗杆顶部落在离底部12处，则旗杆折断前有多高？ 【答案】 解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5，AC＝