专题03 勾股定理应用-2023-2024学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题03勾股定理的应用 【知识梳理】 1、用于解决带有平方关系的证明问题； 2、与勾股定理有关的面积计算； 3、勾股定理在实际生活中的应用． 【题型探究】 题型一将军饮马 1.如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？ 【点拨】作点A关于直线CD的对称点G，连接GB，交CD于点E，利用“两点之间线段最短”可知应在E处饮水，再根据对称性知GB的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决． 【解析】 解：作点A关于直线CD的对称点G，连接GB交CD于点E，由“两点之间线段最短”可以知道在E点处饮水，所走路程最短．说明如下： 在直线CD上任意取一异于点E的点I，连接AI、AE、BE、BI、GI、GE． ∵ 点G、A关于直线CD对称，∴ AI＝GI，AE＝GE． 由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI＋BI＞GB＝AE＋BE，于是得证． 最短路程为GB的长，自点B作CD的垂线，自点G作BD的垂线交于点H，在直角三角形GHB中， ∵ GH＝CD＝800，BH＝BD＋DH＝BD＋GC＝BD＋AC＝200＋400＝600， ∴ 由勾股定理得． ∴ GB＝1000，即最短路程为1000米． 【总结】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用． 2.如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值． 【答案】 解：根据正方形的对称性可知：BP＝DP，连接DE，交AC于P，ED＝EP＋DP＝EP＋BP， 即最短距离EP＋BP也就是ED． ∵ AE＝3，EB＝1，∴ AB＝AE＋EB＝4， ∴ AD＝4，根据勾股定理得： ． ∵ ED＞0，∴ ED＝5，∴ 最短距离EP＋BP＝5． 题型二折叠问题 3.如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D； 【解析】 解：设AB＝，则AF＝， ∵ △ABE折叠后的图形为△AFE， ∴ △ABE≌△AFE．BE＝EF， EC＝BC－BE＝8－3＝5， 在Rt△EFC中， 由勾股定理解得FC＝4， 在Rt△ABC中，，解得． 【总结】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解． 4．如图所示，在长方形中，，若将长方形沿折叠，使点C落在边上的点F处，则线段的长为（ ） A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】 设要求的线段的长为x，根据翻折的性质得到DF的长，并根据勾股定理求出AF的长，在直角三角形BEF中将三边用含有x的式子进行表示，并用勾股定理求解即可. 【详解】 解：如图所示： 设长为x，， （翻折）， ， 根据勾股定理可得： ， ， ， ∴在中， ， ， ， ， ， 长为． 故选C. 【点睛】 本题主要考察勾股定理得应用，利用轴对称的性质和勾股定理在直角三角形BEF中建立三边长的等量关系，形成方程求解即可得到CE的长. 5．如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可． 【详解】 解：ABCD是长方形纸片， ∴AB=CD=3， ， ∴， ∴BF=4， ∴AF=， ∴AF=AD=BC=5，CF=1， 设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x， x2=(3-x)2+1， 解得，x= ， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程． 题型三、最短路线问题 6．如图所示是一个圆柱形饮料罐底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题意得当吸管与底面圆垂直时，吸管在罐内部分a的长度为最小，即为12，当吸管与底面圆的一端重合时，吸管在罐内部分a的长度为最大，根据勾股定理可进行求解． 【详解】 解：由题意得： 当吸管与底面圆垂直时，吸管在罐内部分