二项式定理 专题讲义-2024届高三数学一轮复习

二项式定理模拟练习 知识归结: 三大考点： 1、求特定项或特定项系数或二项式系数问题(抓通项) 2、二项式系数或项的系数和差问题(配凑) 3.整除或余数问题(赋值) 四个问题: 1.二项展开式的原理。(排列组合) 2.二项展开式的规范性，含n+1个项是特定的、严格的结构关系式，不能调序 3. 二项展开式的通项 4. 区分二项式系数与项的系数 二项式系数的性质： 1.对称性 2.单调性：当n为偶数时，二项式系数最大为，当n为奇数时 二项式系数最大为和。 3.最值性 4.定值性:（a+b）n的二项式系数和为2n。 5、等值性:有数位项的二项式系数的和=偶数位项的二项式系数的和=2n-1 注意 一定要注意是“项的系数”还是“二项式系数”。 考点题例 一、求特定项或特定项的二项式系数或项的系数问题 例1、求（x2+）6的展开式中第3项，常数项，二项式系数最大的项，x3的项的系数、第3项的二项式系数. 例2，已知在()n的展开式中，第6项为常数项。 ①求含x2的项的系数； ②求展开式中所有的有理项； ③求第3项。 例3. 若(x+)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数？ 例4. 求(1+x)+(1+x)2+···+(1+x)n（x≠-1，且x≠0）展开式中x3的系数。 例5. (1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是? 例6. (1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数? 例7. （1+x+）10的展式中的常数项? 练习： 1、 在（1+x2）20的展开式中，如果第4r项和第r+2项的二次项系数相等。 ①求r的值 ②写出展开式中的第4r项的系数 2、 已知（1+3x）n的展开式中，末三项的二次项系数的和等于121，求展开式中系数最大的项及二项式系数最大的项。 二、二项式系数或项的系数和差问题 例1. 证明:1+ 例2.设（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，求下列各式的值. ①a0=9 ②a0+a1+a2+a3+a4 ③a1+a2+a3+a4 ④（a0+a2+a4）2-（a1-a3）2 例3.若(1-2x)2009=a0+a1x+a2x2+···+a2009x2009，x∈R，则 +···+的值 例4. 若(1-2x)2004=a0+a1x+a2x2+···+a2004x2004，x∈R，则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+···+（a0+a2004）的值？ 练习： 1、 若将函数f（x）=x5，表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+..+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，···，a5为实数，则a3= . 设（1+x）n=a0+a1x+a2x2+···+anxn，若a0+a1+a2+···+an=63，则展开式中系数最大的项是（ ）. A.15x2 B.20x3 C.21x3 D.35x3 三、整除或余数问题 (配凑:把底数凑成(a±1）n的形式，其中a为除数的整数倍) 例1. 9910-1能被100整除. 例2. 38被5除所得的余数是? 例3， 设a∈Z且0≤a<13，若512012+a能被13整除，只a= . 练习：如果今天是星期日，那么再过890天是星期 . 强化练习： 1. (1+x)6(1-x)4的展开式中含x3项的系数? 2. 求(a-2b+c)7的展开式中a2b3c2的系频？ 3. 若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+···+a7x7? ①a1+a2+a3+···+a7 ②a1+a3+a5+a7 ③|a0|+|a1|+|a2|+···+|a7| 4.（x2+2）（-1）5展开式的常数项? 5.(-)10展开式中各项系数之和? 6.(a-2b)7展开式中二项式系数和?系数之和? 7.(1+2x)8展开式中二项式系数、项的系数最大的项分别是？ 8、(230-3)÷7的余数? 1 $$