山东省临沂市2023-2024学年高三上学期开学摸底联考数学试题

2024届高三开学摸底联考 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若，则该展开式各项二项式系数和为（ ） A. 81 B. 64 C. 27 D. 32 4. 已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 设,则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知为函数的两个不同的极值点，若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，P、Q是直线上的点，平面，五面体的各顶点均在球O球面上，四边形为边长为2的正方形，且，均为正三角形，则当球O半径取得最小值时，五面体的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向右平移个单位长度得到的函数图象关于y轴对称 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 的周长为4 C. 若，则的面积为 D. 若，则 11. 在三棱台中，平面，，点为平面内一动点（包括边界），满足平面，则（ ） A. 点P的轨迹长度为1 B. P到平面距离为定值 C. 有且仅有两个点P，使得 D. 与平面所成角的最大值为30° 12. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（ ） A. 曲线关于直线轴对称 B. 是以4为周期的周期函数 C. D. 关于点对称 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，为平面单位向量，若，则______． 14. 已知A，B为圆上的两点，，M为的中点，则M到直线距离的最小值为______． 15. 已知，，若与的图象在交点处的切线重合，则______． 16. 剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国古老的民间艺术之一．已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为1的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形内多余的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，……重复上述裁剪操作n次，最终得到该剪纸．则第4次裁剪操作结束后所得的面积为______；第n次操作后，所有裁剪操作中裁剪去除的面积之和为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）若，求； （2）求C的最大值． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，． （1）证明；平面平面； （2）设P为上的一个动点，是否存在点P使得与平面所成角为30°，若存在，求，若不存在，说明理由． 19. 设数列前n项和为，，数列为公差为2的等差数列，． （1）求，的通项公式； （2）设，证明：． 20. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围． 21. 在“飞彩镌流年”文艺汇演中，诸位参赛者一展风采，奉上了一场舞与乐的盛宴．现从2000位参赛者中随机抽取40位幸运嘉宾，统计他们的年龄数据，得样本平均数． （1）若所有参赛者年龄X服从正态分布，请估计参赛者年龄在30岁以上的人数； （2）若该文艺汇演对所有参赛者的表演作品进行评级，每位参赛者只有一个表演作品且每位参赛者作品有的概率评为A类，的概率评为B类，每位参赛者作品的评级结果相互独立．记上述40位幸运嘉宾的作品中恰有2份A类作品的概率为，求的极大值点； （3）以（2）中确定的作为a的值，记上述幸运嘉宾的作品中的A类作品数为Y，若对这些