第01讲 平方根与算术平方根（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

第01讲 平方根与算术平方根 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 3.掌握平方根与算术平方根的有关运算 知识点 1 ：平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点3：平方根的性质 知识点4：平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【题型1：平方根的概念和表示】 【典例1】（2023•秦都区校级二模）9的平方根是（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D． 【变式1-1】（2023•罗山县校级三模）4的平方根是（　　） A．−2 B．2 C．±2 D．16 【变式1-2】（2023春•八步区期中）已知a的平方根是±3，则a的值是（　　） A．±3 B．3 C．±9 D．9 【变式1-3】（2023•常德三模）的平方根是（　　） A．4 B．±4 C．±2 D．2 【题型2：平方根的性质】 【典例2】（2023春•郯城县期中）若关于m的代数式m﹣1和3m﹣5是某个正数的平方根，求这个正数． 【变式2-1】（2023春•惠东县期中）一个正数x的两个平方根分别是﹣a+2与2a﹣1，求a和正数x的值． 【变式2-2】（2023春•九龙坡区校级月考）已知正数m有两个平方根，分别是a+3与2a﹣15．①求a的值；②求这个正数m． 【题型3：利用开平方解方程】 【典例3】（2023春•德城区校级月考）求下列各式中x的值． （1）x2﹣49＝0； （2）﹣64x2+＝0； （3）（1﹣2x）2＝1； （4）9（3x+1）2＝64； 【变式3-1】计算： （1）9x2﹣25＝0； （2）4（2x﹣1）2＝36． 【变式3-2】（2022春•通城县期中）求下列各式中的x． （1）x2﹣143＝1； （2）4x2﹣16＝0． 【变式3-3】（2023春•昭阳区月考）求下列各式中x的值． （1）x2﹣25＝0； （2）（x﹣1）2＝64． 【题型4：算术平方根的概念】 【典例4】（2023春•环江县期末）表示（　　） A．10的算术平方根 B．10的平方根 C．10的平方 D．10的立方 【变式4-1】（2023春•抚顺月考）化简的结果是（　　） A．2 B．±2 C． D．± 【变式4-2】（2023春•富锦市期中）若|x|＝5，y是9的算术平方根，则x+y的值是（　　） A．8 B．﹣8 C．﹣2 D．﹣2或8 【变式4-3】（2023春•番禺区期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型5：算术平方根的非负性】 【典例5】（2023春•雅安期末）已知实数x、y满足，则2x+y的平方根是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．±4 【变式5-1】（2023春•微山县期中）若，则ab的值为（　　） A．﹣6 B．﹣5 C．﹣1 D．1 【变式5-2】（2023春•汶上县期中）若|a﹣1|与互为相反数，则a+b＝（　　） A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8 【变式5-3】（2023春•雷州市校级期中）若，则（x+y）2的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1 【题型6：算术平方根的应用】 【典例6】（2023春•桥西区期末）有一张面积为81cm2的正方形卡片． （1）该正方形贺卡的边长为 　　cm； （2）现有一个面积为96cm2的长方形卡袋，长宽之比为4：3，能否将这张卡片不折叠且全部放入此卡袋？请判断并说明理由． 【变式6-1】（2023春•铁东区校级月考）张华想用一块面积为4000cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一