21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2023—2024学年人教版九年级数学上册

一元二次方程的根与系数的关系 1 目标 TARGET 壹 探索一元二次方程的根与系数的关系 贰 利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题 叁 会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程 2 复习 解下列方程并完成填空： (1)x2+3x−4=0; (2)x2−5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0. 一元二次方程 两 根 关 系 x1 x2 x2+3x−4=0 x2−5x+6=0 2x2+3x+1=0 −4 1 2 3 −1 x1+x2=−3 x1 · x2=−4 x1+x2=5 x1 · x2=6 方程的两根x1和x2与系数a,b,c有什么关系？ x1 · x2= 3 壹 一元二次方程的根与系数的关系 4 方程(x−x1)(x−x2)=0的两根是什么？若将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？ 如果方程x2+px+q=0的两根是x1，x2,那么x1+x2=−p， x1 ·x2=q. (x−x1)(x−x2)=0 x2−(x1+x2)x+x1·x2=0， x2+px+q=0， x1+x2=−p , x1 ·x2=q. 问题1 总结 5 问题2 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？ 6 7 结论1 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么 满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0. 注意 8 练习1 1.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则p = ， q= . 1 −2 2.如果−1是方程2x2−x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____. −3 9 贰 一元二次方程的根与系数的关系的应用 10 求下列方程的两根之和、两根之积:（1）x2 – 6x – 15 = 0； 解：∵ a = 1 , b = – 6 , c = – 15 ∴Δ = b2 - 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15 ) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = – 15 . 用韦达定理求两根之和、两根之积：①把方程化为一般式；②判断 Δ的大小；③利用韦达定理求解 方法 练习2 11 （2）3x2 +7x-9 = 0； x1 + x2 =− ， x1 x2 = 解：∵ a = 3 , b = 7, c = -9. ∴Δ=b2 − 4ac = 72 – 4 × 3 × (− 9) = 157 > 0， ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 12 （3） 5x – 1 = 4x2 . 解：化简为 4x2 – 5x +1 =0， ∵ a =4， b = – 5，c = 1. ∴Δ = b2 − 4ac =( – 5 )2 – 4 × 4 ×1 = 9 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = ， x1 x2 = . 13 已知方程5x2+kx−6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . ∴x1 · x2=2x2= 即 x2= 由于x1+x2=2+ = 得 k=−7. 答：方程的另一个根是 ，k=−7. 练习3 14 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和. 解：∵△=-4ac=17>0 练习4 15 设x1，x2为方程x2−4x+1=0的两个根，则： (1) x1+x2= ， (2)x1·x2= ， (3) ， (4) . 4 1 14 12 练习5 16 总结常见的求值: 17 课堂练习 18 节日PPT模板 http://www.1ppt.com/jieri/ 1、已知x1, x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4； (1)求k的值； (2)求(x1−x2)2的值. 解：(1)根据根与系数的关系得 所以(x1+1)(x2+1)=x1x