1.3一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题 2023-2024学年苏科版九年级数学上册

2023-2024学年苏科版九年级数学上册《1.3一元二次方程的根与系数的关系》 同步练习题（附答案） 一、单选题 1．已知和是方程的两个根，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 2．若，是方程的两实数根，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 4．关于x的一元二次方程的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（　　） A． ，1 B． ， C．3， D．3，1 5．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．已知方程的两根分别为，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 7．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知是一元二次方程的两个实数根，则_____． 9．若、是一元二次方程的两根，则______． 10．若矩形的长和宽是方程的两根，则矩形的对角线长度为______． 11．关于的一元二次方程两个实数根、且，则m的取值范围是________； 12．若，是方程的两根，则______． 13．若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则n的值为______． 14．已知a，b是方程的两个根，则的值_____． 三、解答题 15．已知，是方程的两根，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．实数k使关于x的方程有两个实数根,． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值； 17．已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，若，求k值； (3)若，证明：． 18．已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 19．关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若的两条直角边的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长． 20．阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数，满足：，，且，则_____，______； (2)间接应用：在（1）条件下，求的值； (3)拓展应用：已知实数，满足：，且，则______． 参考答案： 1．解：和是方程的两个根， ． 故选：D． 有两个实数根，，那么，，掌握上述内容是解题的关键． 2．解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∵，是方程的两实数根， ∴， ∴． 故选：A． 3．解：∵关于x的一元二次方程两根为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．解：设方程的另一实数根为t， 根据题意得， 解得， 即方程的另一根为，m的值为1． 故选：A． 5．解： ， ∵a，b是一元二次方程的两根， ∴， ∴原式． 故选：A． 6．解：， 方程的两根分别为， 根据根与系数关系， ． 故选D． 7．解：设方程的两根分别为a，b， ∴， ∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11， ∴，即， ∵菱形对角线垂直且互相平分， ∴该菱形的边长为 ，故C正确． 故选：C． 8．解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为． 9．解：， 、是一元二次方程的两根， ，， ， 故答案为：4． 10．解：设矩形的长和宽分别为、， 则，， 所以矩形的对角线长， 故答案为：5． 11．解：∵的一元二次方程两个实数根、 ∴，， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 12．解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴，， 即， ∴ ， 故答案为：． 13．解：由题意，分以下两种情况： （1）当3为等腰三角形的腰长时，则3是关于的方程的一个根， 因此有， 解得， 则方程为， 设另一个根为， ∴ ∴另一个根为， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系； （2）当3为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根， 因此，根的判别式， 解得， 则方程为，解得方程的根为， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系； 14．解：∵a，b是方程的两个根， ∴，， ∴a＜0，b＜0， ∴ ∴原式 故答案为：﹣14． 15．（1）解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴， ∴的值为； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴的值为； （3）∵ ， ∴的值为； （4）由（2）知： ， ∴的值为． 16．（1）解：方程化为一般式为， 根据题意得，解得， 即k的取值范围为； （2）解：根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， ∴，整理得， 解得，， ∵， ∴k的值为0或． 17．（1）