22.1 二次函数 学案 2023--2024学年人教版九年级数学上册

22.1 二次函数 ；学案 考点归纳 考点一：二次函数的概念 一般地，形如的函数，叫做二次函数。其中x是自变量（x是全体实数）， a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 例如：，，， 其他形式 ①①整式 ②自变量的最高次数为2 ③二次项系数不等于0 ② ③ 【提醒：】确定一个函数是否为二次函数，首先通过去括号、合并同类项等步骤将其化为一般形式，再根据二次函数的定义判断。 考点二：二次函数的图像——抛物线 1、 描点法画函数的图象 2、 二次函数的图像和性质 特征 二次函数 a的符号 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 y轴 图象 增减性 当 当 当 当 最值 当， 当， 考点三：二次函数的图像和性质 特征 二次函数 a的符号 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 y轴 图象 增减性 当 当 当 当 最值 当， 当， 规律总结：抛物线可看作是可向上或向下平移平个单位得到的。“上加下减”，越大，抛物线开口越小，反之，越大。 典型例题 考点一：二次函数的概念 例1.若函数y＝（m﹣3）是二次函数，则m＝　1　． 【分析】直接利用二次函数的定义得出关于m的等式求出即可． 解：∵关于x的函数y＝（m+3）是二次函数， ∴m2+2m﹣1＝2，m+3≠0， 解得：m1＝﹣3（不合题意舍去），m2＝1． 故答案为：1． 变式训练1.如果函数y＝（m﹣3）+mx+1是二次函数，求m的值． 考点二：二次函数的图像和性质 例2.在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数y＝2x2和y＝﹣x2的图象，并根据图象回答下列问题（设小方格的边长为1）． （1）说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； （2）抛物线y＝2x2，当x　≠0　时，抛物线上的点都在x轴的上方，它的顶点是图象的最　低　点； （3）函数y＝﹣x2，对于一切x的值，总有函数y　≤　0， 当x　＝0　时，y有最　大　值是　0　． 变式训练2-1．抛物线y＝，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是： ①都是开口向上； ②都以点（0，0）为顶点； ③都以y轴为对称轴； ④都关于x轴对称． 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式训练2-2．函数y＝ax﹣2（a≠0）与y＝ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C． D 考点三：二次函数的图像和性质 例3.在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线： ，，． （1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标． 【分析】（1）首先利用取值、描点、连线的方法作出三个函数的图象，根据二次函数图象，可得二次函数的开口方向，对称抽，顶点坐标，通过观察归纳它们之间的关系． （2）由（1）的规律可得抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标． 【详解】解：（1）列表： … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 2 0 2 … 描点、连线，可得抛物线． 将的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到与的图象（如图所示）． 抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）． （2）抛物线的开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象，发现图象的变化规律是解答此题的关键． 变式训练3-1.关于二次函数y=-2x²+1的图象，下列说法中，正确的是（ ） A. 对称轴为直线x=1 B. 顶点坐标为(-2, 1) C. 可以由二次函数y=-2x²的图象向左平移1个单位得到 D. 在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降 变3-2.在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax²+b的大致图象可能是（ ）A. B. C. D. 随堂练习 1．若y＝（m+1）x是关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．﹣2或1 D．2或1 2．若y＝（m2﹣m）x是二次函数，则m等于（　　） A．﹣2 B．2 C．1 D．1或﹣2 3．对于二次函数y＝3x2+2，下列说法错误的是（　　） A．最小值为2 B．图象与y轴没有公共点 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．其图象的对称轴是y轴 4．下列函数中，y总随x的增大而减小的是（　　） A．y＝4x B．y＝﹣4