3.3 幂函数 课件——2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数 一、引入新课 问题1：如果张红购买了每千克1元的苹果w千克，那么她需要付的钱数p =_____元，___________________. 问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积 是S =_____，_____________________. w 这里p是w的函数 a² 这里S是a的函数 y=x y=x2 填空，指出函数关系.若将问题中的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示，写出它们的之间的函数关系式. 问题4：如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a=_____，__________________. 问题5：如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v = _____ km/s，__________________. 这里a是S的函数 t -1 这里v是t的函数 y= y=x-1 问题3：如果立方体的边长为a，那么立方体的体积是V =_______，___________________. 这里V是a的函数 a3 y=x3 5个函数式的共同特征： (2) 底数是自变量； (1) 指数是常数； (3) 函数式前的系数都是1； (4) 形式都是 y=xα，其中α是常数. y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 1.为什么形如）的函数叫做幂函数，而,+1, 幂函数 一般地，函数 y=xα 叫做幂函数.其中x为自变量，α为常数. 注意： 1. y=xα 中前面的系数为1，并且后面没有常数项. 2. 定义域没有固定，与α的值有关. 3. 幂函数中的α可以为任意实数. 二、探究新知 幂函数定义: 判断下列函数是否是幂函数： (1) y=x4； (2) y=； (3) y=2x； (4) y=； (5) y=2x2； (6) y=x3+2. 在同一平面直角坐标系内作出 ， ， ， ， 的图象. 幂函数的图象及性质 观察上述图象，完成课本90页的表格. y= x3 定义域 值 域 奇偶性 单调性 公共点 y = x R R R [0，+∞） R [0，+∞） R [0，+∞） 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 在R上是增函数 在（－∞,0]上是减函数，在(0, +∞）上是增函数 在R上是增函数 在(0，+∞)上是增函数 在( －∞,0)，(0, +∞）上是减函数 （1，1） y = x2 α>1 0<α<1 幂函数的性质: 1.所有幂函数的图象都通过点(1,1); 幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同. 3.如果α＞0,则幂函数在(0,+∞)上为增函数; 如果α＜0,则幂函数在(0,+∞)上为减函数. 2.当α为奇数时,幂函数为奇函数; 当α为偶数时,幂函数为偶函数. α<0 一象限，图都有；四象限，都没有；二和三，看奇偶；都过1 ，正过0；单调性，正递增，负递减 奇偶性，看指数；指奇奇，指偶偶。 三、应用新知 例 证明幂函数f(x)=在[0，+∞）上是增函数. 方法技巧:分子有理化 证明：函数的定义域是[0，+∞).任取x1,x2∈[0，+∞）,且x1＜x2，则 因为0≤x1＜x2，所以＜0，＞0， 所以，即幂函数f(x)=在[0，+∞）上是增函数. 比较下列各组数的大小: （1）和； （2）-和； （3）和. 四、当堂练习 解：（1）函数y= 又3 ＜ 3.1，所以 ＞ ； （2）-= -，函数y= 又＞ ，则＞ ，所以- ＜； （3） = ， = 函数y= 又＞，所以= ＜= 回顾讨论，总结本节课学习内容： 1．知识：幂函数的定义、图象、性质. 2．思想：数形结合的思想、类比转化思想. 五、归纳小结 $$