第24章 解题技巧专题：切线证明的常用方法（作业课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册数学同步备课（人教版）

2023秋季学期 《学练优》·九年级数学上·RJ 类型一　有切点，连半径，证垂直一、利用角度转换证垂直1．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以C为圆心，CA为半径作圆，与AB交于点D.(1)在BC边上利用尺规作图求一点E，使得EB＝ED(保留作图痕迹，不写作法)；(2)连接DE，判断DE与⊙C的位置关系并证明． (1)如图，作线段DB的垂直平分线，与BC交于点E，则点E即为所求． (2)DE与⊙C相切．证明如下：如图，连接CD，DE.∵C为圆心，A，D在圆上，∴CA＝CD.∴∠CDA＝∠CAD.∵ED＝EB，∴∠B＝∠EDB. ∵∠A＋∠B＝90°，∴∠ADC＋∠EDB＝90°.∴∠CDE＝90°.∴CD⊥DE.又∵点D在⊙C上，∴DE与⊙C相切． 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF.求证：CE为⊙O的切线． 证明：如图，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠OBC＋∠ADC＝180°.又∵∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠OBC. ∵CE⊥AD，∴∠E＝90°.∴∠CDE＋∠ECD＝90°.∵∠ECD＝∠BCF，∴∠OCB＋∠BCF＝90°.∴∠OCF＝90°，即OC⊥EF.∵OC是⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线． 3.(2022·北京中考)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD.(1)求证：∠BOD＝2∠CAB；(2)连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F.若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线． 证明：(1)如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴ .∴∠CAB＝∠BAD.∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOD＝2∠CAB. (2)如图，连接OC，∵F为AC的中点，∴DF⊥AC.∴AD＝CD.∴∠ADF＝∠CDF.∵ ，∴∠CAB＝∠DAB.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∴∠CDF＝∠CAB. ∵OC＝OD，∴∠CDF＝∠OCD.∴∠OCD＝∠CAB.∵ ，∴∠CAB＝∠CDE.∴∠CDE＝∠OCD. ∵∠E＝90°，∴∠CDE＋∠DCE＝90°.∴∠OCD＋∠DCE＝90°，即OC⊥CE.∵OC为半径，∴直线CE为⊙O的切线． 二、利用勾股定理的逆定理证垂直4．如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB＝2，PC＝4.求证：PC是⊙O的切线． 证明：如图，连接OC.∵⊙O的半径为3，PB＝2，∴OC＝OB＝3.∴OP＝OB＋PB＝5.∵PC＝4，∴OC2＋PC2＝OP2. ∴△OCP是直角三角形，∠OCP＝90°.∴OC⊥PC.∵C是⊙O上一点，∴PC是⊙O的切线． 5．如图，在平面直角坐标系中，以点C(2，0)为圆心，以3为半径的圆分别交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点D(－ ，0)．(1)A，B两点的坐标分别为 (5，0)，(0， ) ；(2)求证：直线BD是⊙C的切线． 三、利用全等证垂直6．(2022·衡阳中考)如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE.(1)直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；(2)若CA＝2，CD＝4，求DE的长． (1)直线BE与⊙O相切．理由：如图，连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODE＝90°.∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB. ∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO.∴∠DOE＝∠EOB.∵OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE(SAS)．∴∠OBE＝∠ODE＝90°.∴BE⊥OB.∵OB是⊙O的半径，∴直线BE与⊙O相切． (2)设⊙O的半径为r，在Rt△ODC中，OD2＋DC2＝OC2，∴r2＋42＝(r＋2)2.∴r＝3.∴AB＝2r＝6.∴BC＝AC＋AB＝2＋6＝8. 由(1)得△DOE≌△BOE，∴DE＝BE.在Rt△BCE中，BC2＋BE2＝CE2，∴82＋BE2＝(4＋DE)2.∴64＋DE2＝(4＋DE)2.∴DE＝6. 7．如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边的中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF.求证：CF与⊙O相切． 类型二　无切点，作垂直，证半径8．如图，在△ABC中，AB＝AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D.求证：AB是半圆O所在圆的切线． 证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E，连接OD，OA.∵AB＝AC，点O是BC的中点，∴AO平分∠BAC.∵