第22章 考点综合专题：抛物线与四边形的综合（作业课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册数学同步备课（人教版）

2023秋季学期 《学练优》·九年级数学上·RJ 1．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 1 . 2．(2022·宜宾中考节选)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，其顶点为点D，连接AC.(1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式及顶点D的坐标；(2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A，C，E，F为顶点，AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标．【拓展设问】若去掉“以AC为边”这一条件，请直接写出点F的坐标． (1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(3，0)，B(－1，0)，C(0，3)， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点D的坐标为(1，4)． (2)设直线AC的解析式为y＝kx＋n，把A(3，0)，C(0，3)代入，得n＝ ∴ ∴直线AC的解析式为y＝－x＋3.过点F作FG⊥DE于点G.∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，∴AC＝EF，AC∥EF. ∵OA∥FG，∴∠OAC＝∠GFE.∴△OAC≌△GFE(AAS)．∴OA＝FG＝3.设F(m，－m2＋2m＋3)，则G(1，－m2＋2m＋3)．∴FG＝|m－1|＝3. ∴m＝－2或m＝4.当m＝－2时，－m2＋2m＋3＝－5，∴F1(－2，－5)；当m＝4时，－m2＋2m＋3＝－5，∴F2(4，－5)．综上所述，满足条件的点F的坐标为(－2，－5)或(4，－5)． 【拓展设问】点F的坐标为(－2，－5)或(4，－5)或(2，3)． 解决抛物线中动点生成平行四边形的问题时，一般先求出定点坐标，再根据已知线段为边或对角线分类讨论．已知线段为边时，一般可根据对边相等列方程求解(根据平移列方程求解也可)；已知线段为对角线时，可根据中点坐标相等列方程求解．特殊平行四边形问题只需对平行四边形的相关条件进行加固． 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－ x2＋bx＋ 与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线l.P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为－m＋ .以PQ，QM为边作矩形PQMN.(1)求b的值；(2)当点Q与点M重合时，求m的值；(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值． (1)把点A(3，0)代入y＝－ x2＋bx＋2(3)，得0＝－ ＋3b＋ ，解得b＝1. (2)∵抛物线的解析式为y＝－ x2＋x＋ ，∴P(m，－ m2＋m＋ )．∴Q(3，－ m2＋m＋ )．∵M，Q重合，∴－m＋ ＝－ m2＋m＋ .解得m1＝0，m2＝4.即m的值为0或4. (3)y＝－ x2＋x＋ ＝－ (x－1)2＋2，∴抛物线的顶点坐标为(1，2)．∵矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部，∴PQ＝MQ.∴3－m＝－m＋ －(－ m2＋m＋ )，且－m＋ ＞2.解得m1＝1－ ，m2＝1＋ (不合题意，舍去)．∴m＝1－ . 谢谢观看 Thank you for watching! $$