22.2.4 一元二次方程根的判别式（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

第22章 一元二次方程 华师版(2012)九年级上册数学 22.2.4 一元二次方程根的判别式 知识回顾 配方法 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 公式法 公式 注意 步骤 a ≠ 0 Δ = b2 − 4ac≥0 1. 变形 2. 定数 3. 判定 4. 计算： 第22章 一元二次方程 新知探究 问题1 不解一元二次方程，判断根的情况？ 用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 方程两边都除以 a，得 解：移项，得 配方，得 即 ∵ a≠0，∴ 4a2 > 0. 第22章 一元二次方程 (1) b2－4ac ＞0， 则方程有两个不相等的实数根 (2) b2 - 4ac = 0， 方程有两个相等的实数根 (3) b2 - 4ac ＜0， x1 = x2 = - . 方程无实数根. 我们把 b2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ = b2 − 4ac. 第22章 一元二次方程 知识要点1 反之，同样成立！ 当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ＜0 时，方程没有实数根. 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)， 第22章 一元二次方程 典例讲解 例1 不解方程，判断下列方程的根的情况　 （1）3x 2 =5x - 2 （2） 解：(1)原方程可变形为3x2-5x+2=0 因为∆=(-5)2-4×3×2=1>0, 所以方程有两个不相等的实数根。 (2)因为∆= 所以方程有两个相等的实数根 （3）4(y2+1)-y=0 (3)原方程可变形为4y2-y+4=0 因为∆=(-1)2-4×4=-15<0 所以方程没有实数根。 第22章 一元二次方程 例2 已知关于x的方程2x2-(3+4k)x+2k2+k=0. (1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根； (2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根； (3)当k取何值时，方程没有实数根； 解：a=2，b=-(3+4k)，c=2k2+k ∆=[-(3+4k)]2-4×2×(2k2+k)=16k+9 第22章 一元二次方程 （1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴16k+9>0，解得k>- （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴16k+9=0，解得k=- （3）∵方程没有实数根， ∴16k+9<0，解得k<- 第22章 一元二次方程 知识要点2 一元二次方程的根的情况的判断的步骤 1.变形:化已知方程为一般形式; 2.定系:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: 确定b2-4ac的符号; 4.判断：b2-4ac >0 两个不相等的实数根; b2-4ac =0 两个相等的实数根; b2-4ac<0 没有实数根. 第22章 一元二次方程 针对练习 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2 + 4x − 3 = 0； （2）4x2 = 12x − 9； （3）7y = 5( y2 + 1 ). 解：（1）a = 3，b = 4，c = −3， ∴ Δ = b2 − 4ac = 42 − 4×3×(−3) = 52＞0. ∴ 方程有两个不相等的实数根． 第22章 一元二次方程 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2 + 4x − 3 = 0； （2）4x2 = 12x − 9； （3）7y = 5( y2 + 1 ). （2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9， ∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0. ∴ 方程有两个相等的实数根． 第22章 一元二次方程 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2 + 4x − 3 = 0； （2）4x2 = 12x − 9； （3）7y = 5( y2 + 1 ). （3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5， ∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0. ∴ 方程没有实数根． 第22章 一元二次方程 课堂小结 两个不相等的实