2.1等式性质与不等式性质第一课时 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.1等式性质与不等式性质 第一课时 第二章 一元二次函数、方程和不等式 问题导入 问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速40km/h; （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； 解：设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h， “限速40km/h”就是v的大小不能超过40，于是0＜v≤40 解：由题意，得 （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 解：设ABC的三条边为a,b,c,则a+b＞c,a-b<c. 问题导入 解：设C是直线AB外的任意一点，CD垂直于AB，垂足D,E是直线AB上不同于D的任意一点，则CD<CE. 你能写出其他的可能情况吗？ 问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本。如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 问题导入 解：设提价后每本杂志的定价为x元，则销售总收入为（8- ×0.2)x万元， 于是，销售总收入不低于20万元，可用不等式表示为（8-×0.2)x≥20 如何解这个不等式呢？ 怎样构建变量所满足的不等关系？ 1、要先弄清题意，分清是常量与常量、常量与变量的不等关系； 2、类比等式的建立找到不等式，选准不等号连接； 3、注意不等式与不等关系的对应，做到不重、不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围。 探求新知 方法 基本事实 表示 转化 适用于 作差法 1、如果a-b是正数，那么a>b; 2、如果a-b等于0.那么a=b; 3、如果a-b是负数，那么a<b. 反过来也对。 a>b⇔a-b>0; a=b⇔a-b=0; a<b⇔a-b<0. 比较两个实数的大小 ⇓ 比较它们的差与0的大小 具有多项式结构特征的式子的大小比较 作商法 1、当a,b同号： 若a>0,b>0,>1,则a>b>0; <1,则b>a>0; 若a<0,b<0,>1,则a<b<0; <1,则b<a<0; 2、当a,b异号，则用正负号判断 3、其余情况可用作差法判断 a>b>0⇒>1; b>a>0⇒1; a<b<0⇒>1; b<a<0⇒1; 比较两个实数的大小 ⇓ 比较它们的商与1的大小 含幂式、积式、分式且符号确定的数或式的大小比较 关于实数a,b大小的比较方法 例题精讲 例1 比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小。 分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系。 解：因为（x+2)(x+3)-(x+1)(x+4) =(x2+5x+6)-(x2+5x+4) =2>0, 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”。 所以（x+2)(x+3)>(x+1)(x+4) 利用作差法比较大小的步骤 作差 变形 判断差与0的大小 得出结论 课堂练习 1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系： （1）某高速公路规定通过车辆的车货总高度h（单位：m)从地面算起不能超过4m; (2)a与b的和是非负实数； 解：由题意，得0<h≤4. 解：由题意，得a+b≥0. 课堂练习 2.比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小。 解：因为(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6) =(x2+10x+21)-(x2+10x+24) =-3<0, 所以(x+3)(x+7)<(x+4)(x+6) （3）如图，在一个面积小于350m2的矩形基地的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L（单位：m)大于宽W（单位：m)的4倍。 解：由题意，得 探求新知 探究 在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，你能在这个图中找到一些相等关系和不等关系吗？ 相等关系 a 不等关系 ab, 一般地， 当且仅当，a=b时，等号成立。 完全平方公式=（a-b)2 探求新知 3、平方法 平方法的一般步骤：对两式先平方，在比较大小。 4、介值比较法 介值比较法的理论依据是： 若a>b,b>c,则a>c,其中b是a与c的中介值 介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值。 例题精讲 例2 已知a,b为正实数，试比较与的大小。 解：方法一（作商法）： = == 利用作商法比较大小的步骤 作商 变形 判断商与1的大小 得出结论 例题精讲 解：方法三（平方后作差）： =, 解：方法二（作差法）= = ，当且仅当a=b时等号成立. ，当且仅当a=b时取等号。 课堂练习 3、已知a