2.2 基本不等式 专练-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式 【夯实基础】 知识点1 基本不等式 1.已知正数a，b满足，则有( ) A.最小值 B.最小值 C.最大值 D.最大值 2.已知，，，若不等式恒成立，则m的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.7 3.已知，则的最小值是_________. 4.若，，则的最小值为__________. 知识点2 基本不等式的应用 5.如果，，，，那么P，Q，M的大小顺序是( ) A. B. C. D. 6.在使成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做的上确界，若，，且，则的上确界为( ) A.-3 B.-4 C. D. 7.某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为3x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买( ) A.20 B.30 C.40 D.60 8.若正数a，b满足，则的取值范围是_________. 【提升能力】 9.已知，且，则的最小值为( ) A.3 B.4 C.6 D.9 10.已知正数x，y满足，则的最小值为( ) A.2 B. C. D.5 11.（多选）已知，，，则( ) A. B. C. D. 12.（多选）下列结论正确的是( ) A.若a，b为正实数，且，则 B.若a，b，m为正实数，且，则 C.若，则 D.当时，的最小值为2 13.已知，，，则的最小值为__________. 14.已知，，且，则的最小值为_________. 【综合素养】 15.已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值范围是___________. 16.如图，长方形ABCD表示一张(单位：分米)的工艺木板，其四周有边框(图中阴影部分)，中间为薄板.木板上一瑕㾟(记为点P)到外边框AB，AD的距离分别为1分米、2分米.现欲经过点P锯掉一块三角形废料MAN，其中M，N分别在AB，AD上.设AM，AN的长分别为m分米、n分米. （1）求的值； （2）为使剩下木板MBCDN的面积最大，试确定m，n的值； （3）求剩下木板MBCDN的外边框长度(MB，BC，CD，DN的长度之和)的最大值及取得最大值时m，n的值. 答案以及解析 1.答案：C 解析：正数a，b满足，，当且仅当时取等号，即有最大值，故选C. 2.答案：C 解析：因为，所以.又因为，，所以，当且仅当时取等号.由题意可得，即，则m的最大值为3.故选C. 3.答案：5 解析：由题意可得，当且仅当，即时，等号成立. 4.答案： 解析：因为，，所以，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为. 5.答案：B 解析：依题意，根据基本不等式可知.因为，，所以，，所以，即.故选B. 6.答案：D 解析：根据题意，由，得.因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立，因此，所以根据定义知，的上确界为，故选D. 7.答案：B 解析：某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x吨，则需购买次，运费为3万元/次，一年的总存储费用为3x万元，则一年的总运费与总存储费用之和为，当且仅当，即吨时，等号成立，所以每次购买30吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.故选B. 8.答案： 解析：解：， 因为正数a，b满足，所以，所以. 9.答案：A 解析：因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为3.选A. 10.答案：B 解析：因为，所以， 所以， 所以， 当且仅当即当时，等号成立，因此，的最小值为.故选B. 11.答案：ACD 解析：因为，，，，所以，当且仅当时，等号成立，故A正确，B错误；，因为，所以，故C正确；，因为，所以，故D正确.故选ACD. 12.答案：AC 解析：若a，b为正实数，且，则，即，故A正确；若a，b，m为正实数，且，则，即，故B错误；因为，所以，所以，故C正确；当时，，当且仅当时取等号，故D错误.选AC. 13.答案： 解析：因为，，，所以，当且仅当，即或时取等号，所以的最小值为. 14.答案：4 解析：，，.，，当且仅当时取等号，即，或，时，等号成立. 15.答案：或 解析：由，得.因为，所以，所以，，当且仅当时，等号成立，故.因为恒成立，所以，解得或.故t的取值范围是或. 16、（1）答案： 解析：如图，过点P分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F， 则可得，所以， 即，整理可得. （2）答案：当，时，剩下木板的面积最大 解析：要使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料MAN的面积最小. 因为，， 所以，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以当，时，剩下木板的面积最大. （3）答案：剩下木板的外边框长度的最大值为分米；分米，分米 解析：要使剩下木板的外边框长度最大，则锯掉的边框长度最小. ， 当且仅当，即，时等号成立， 故此时剩下木板的外边框长度的最大值为(