上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试卷

复旦附中2023学年第一学期高二年级数学开学考 2023.9 一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1.已知集合A={yy=-r2+2,xeR,B=r>-l,xeN},那么AnB= 2.若复数：= a-2i 是纯虚数，则实数a= 2+i 3.已知a、b∈R,且a2+9b2=1,则ab的最大值是 4.若一个等腰三角形顶角的正弦值为 4 则其底角的余弦值为 25 5.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的 扇形制作而成，设扇形的面积为S,，圆面中剩余部分的面积 为S2,当S与S2的比值为 5-1时，扇面看上去形状较为 美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为 6.己知定义域为R的奇函数∫(x)在区间(0，+∞)上为严格减函数，且f(2)=0,则不等 式+)之0的解集为 x-1 7.已知函数y=a+cos0x,x∈[-π，π]（其中a,0为常数，且o>0)有且仅有3个零 点，则⊙的最小值是 8.非零平面向量ā，b,满足b=3,且6：(6-ad=25-d,则园的最小值为 9.如图，正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，沿 AE,EF,AF把这个正方形折成一个四面体，使B,C,D三点重合， 重合后的点记为G.若四面体A-EFG外接球的表面积为T,则正 方形ABCD的边长为 10.函数f)-2x+-4xe0小1为常数的最大值为，则1的取值范围为 3 2 11.已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为4的正方形，SD⊥面ABCD,点M、N分别 是AD、CD的中点，P为SD上一点，且SD=3PD=3,H为正方形ABCD内一点，若 SH∥面PMN,则SH的最小值为 12.已知平面向量aaa,666两两互不相等，且a-a=可，-a=石，-a=2.若 对任意的i,j∈{1,2,3}，均满足a,-b∈{1，V3},则当p,9∈{1,2,3}且p≠g时，b。-b, 的值为 二、选择题（本大题共有4小题，每题5分，满分20分)每题有且只有一个正确选项.考 生应在答题纸的相应位置，填写正确选项. 13.设a:实数x满足<0，B:实数x满足K-<2.那么a是B的()。 x+1 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 14.设有下面四个命题：①若复数：满足二∈R,则：∈R;②若复数：满足2∈R,则 :∈R:③若复数z满足z∈R,则：∈R；④若复数52满足2∈R,则=2，则 正确命题的个数是(). A.1 B.2 C.3 D.4 15.设函数f(x)=asinx+bcsx,其中a>0,b>0.若f()sf4 对任意的x∈R恒 成立，则下列结论正确的是(). B.f()的图像关于直线x=3江对称 c.[] 严格递增D.过点(a,b)的直线与函数f(x)的图像必有公共点 16.如图，棱长为2的正方体ABCD-A,BC,D中，E为CC,的中 点，点P、Q分别为面AB,C,D,和线段B,C上动点，则△PEQ周 长的最小值为(). A.2V2 B.V10 c.v1 D.V12 三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的 步骤 17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知向量a=(3,-1),ab=-5,c=xa+1-x)b. (1)若ā⊥c,求实数x的值： (2)若=V5,求的最小值. 18.(本题满14分，第1小题满分6分，第2小题满8分) 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,小区的两个出入口设置在点A及 点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD, (1)已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，将此人步 行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）： (2)若该扇形的半径OA=Q,已知某老人在小区散步，从C沿CD走到D,再从D沿DO 走到O,试确定C的位置，使老人散步路线最长. D 19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图，正方体ABCD-AB,C,D中，P为棱AA上一点： (1)试过点P在平面ADD,A上作一条直线PQ,使得PQ⊥C,P,写出作法并说明理由： (2)若P为棱AA的中点，Q为棱AD上一点，且PQ⊥C,P,求异面直线PQ与C,D所 成的角 B 20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分) 已知函数∫(x)=2+ 2,a为实常数. (1)若函数f(x)为奇函数，求a的值： (2)若x∈[0,1]时f(x)的最小值为2，求a的值： (3)若方程(x)=6有两个不等的实根x,x2,且x-x2≤1，求的取值范围.