4.5.3 函数模型的应用（1）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.3函数模型的应用(1) 《必修》（第一册)48~50 复习引入 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模 型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画. 面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来 刻画它呢？ f(x),x<m, y= g(x),x≥m. 2解决函数应用问题的基本步骤是什么？ 实际问题 分析、联想、 建立函数模型 抽象、转化 疑 数学解 实际问题结论 转译 数学问题结论 例题 课本148页 例3：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口 数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据. 早在1798年， 英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus， 1766~1834)就提出了自然状态下的人口增长模型： $$y = y _ { 0 } e ^ { r t }$$ 其中t表示经过的时间， $$y _ { 0 }$$ 表示 t=0 时的人口数，r表示人 口的年平均增长率. (1)根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、 1959年末的人口总数分别为55196万和67207万.根据这 些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在 1950~1959年期间的具体人口增长模型. 分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模 型，就是要确定其中的初始量 $$y _ { 0 }$$ 和平均增长率r. 解：(1)由题意知yo=55196,设1950~1959年期间我国 人口的年平均增长率为，根据马尔萨斯人口增长模型， 有 67207=55196e9r, 由计算工具得r"≈0.021876， 因此我国在1950~1959年期间的人口增长模型为 y=55196e021876,t∈[0,9]. (2)利用(1)中的模型计算1951~1958年各年末的人4总 数，查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年间 各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数 据是否相符。 解：(2)分别取仁1,2,8，由y=55196e21876句 得我国在1951~1958年间的各年末人口总数；查阅国家 统计局网站，得到我国1951~1958年各年末的实际人口 总数，如下表所示. 年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 计算所得人 56417 57665 58940 60243 6157662938 64330 65753 口总数/万 实际人数总 56300 57482 58796 60266 6145662828 64563 65994 数/万 年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 计算所得人 56417 57665 58940 60243 6157662938 64330 65753 口总数/万 实际人数总 56300 57482 58796 6026661456 62828 64563 65994 数/万 根据1950~1959年我国人口总数的实际数据画出散点图， 并画出函数y=55196e21876,t∈[0,9]的图象 由上表和上图可以看出，所得 y 75000 模型与1950~1959年的实际人 70000 口数据基本吻合. 65000 60000 55000 50000 123456789支 (3)以()中的模型作预测，大约在什么时候我国的以口 总数达到13亿？ 解：(3)将题意知y=130000,代入 Jy=55196e0.0218761 由计算工具得：t≈39.15. 所以，如果人口按照(1)中的模型增长，那么大约在1950 年后的第40年（即1990年），我国的人口就己达到13亿. 思考：事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直 到2005年才突破13亿.对由函数模型所得的结果与实际 情况不符，你有何看法？ 因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展 水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步 实施了计划生育政策.因此这一阶段的人口增长条件 并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现 了依模型得到的结果与实际不符的情况. 反思归纳 1.本题是应用已的型解实问题 2.在用已知的函数模型刻画实问题时应注意模型的使件