4.4.3 不同函数增长的差异 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.3不同函数增长的差异 《必修》（第一册）P36~P39 问题探究1 我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大 差异.事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有 不同增长规律的反映.因此，如果把握了不同函数增 长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况， 选择合适的函数模型刻画其变化规律. 下面就来研究一次函数y=ac+b(k>0,指数函数 y=a(a>l),对数函数y=log。x(a>在定义域内增 长方式的差异. 以函数=2与y=2x为例研究指数函数，一次函数增长方 式的差异. 分析：(1)在区间(-00,0)上，指数函数y=2x值恒大于0， 一次函数y=2x值恒小于0，所以我们重点研究在区间 [0,+oo)上它们的增长差异 (2)借助信息技术， X V=2x y=2x 在同一直角坐标系 0 1 0 内列表、描点作图 0.5 1.414 1 =2x 如下： 1 2 2 1.5 2.828 3 J=2x 2 4 4 2.5 5.657 5 3 8 6 H 8■ ■。口 (③)观察两个函数图象及其增长方式： 结论1：函数y=2x与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4)： 结论2：在区间0,1)上，函数y=2x的 =2 图象位于y=2x之上，2>2x; 结论3：在区间(1,2)上，函数y=2x的 J=2x 图象位于y=2x之下，2<2x; 结论4：在区间(2,3)上，函数y=2x的图 象位于y=2x之上，2"<2x. 综上：虽然函数y=2x与y=2x在[0，+oo)止都单调递增 但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度保持 不变，而函数y=2的增长速度改变，先慢后快. 思考1：取更大的x值，在更大的范围内，观察 y=2x与y=2x的增长情况. 当自变量x越 来越大时， X y=2x y=2x 0 1 0 1000 y=2x的图象就 =2 2 4 4 800 像与x轴垂直 4 16 8 600 一样，2*的值 6 64 12 400 快速增长；而 8 256 16 200 函数y=2x的增 =21 10 1024 20 5 101520 长速度依然保 12 4096 24 持不变，与函 nn 。 0■ 数y=2x的增长 速度相比几乎 微不足道. 归纳总结 1.函数y=2x与y=2x在0，+o)上增长快慢的不同如下： 虽然函数y=2x与y=2x在[0，+oo)上都是单调递增，但 它们的增长速度不同， 随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并 远远大于y=2x的增长速度. 尽管在x的一定范围内，2x<2x,但由于y=2x的增长最 终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个x0,当 >x时，恒有2>2x. 2.一般地，指数函数y=(>1)与一次函数y=kx(k>0) 的增长差异都与上述情况类似. 即使k值远远大于a的值，指数函数y=(a>I)虽然有 一段区间会小于y=kx(k>0),但总会存在一个xo,当 >x时，y=(a>1)的增长速度会大大超过y=kx(k>0) 的增长速度. 指数函数不像一次函 数那样按同一速度增长， 而是越来越快，呈爆炸性 增长 练习 课本139页 y1,y23 x x 0 5 10 15 20 25 30 yI 5 130 505 1130 2005 3130 4505 y2 5 90 1620 29160 524880 9447840 170061120 ya 5 30 55 80 105 130 155 X y2 问题探究2 以函数g与)=。为例研究对数函数，一次函数 增长方式的差异 分析：(1)在区间(-oo,0)上，对数函数y=gx没意义，一 次函数值恒小于0，所以研究它们在区间(0，+∞)上的增 长差异 (2)借助信息技术 x y=lgx —X 10 x 在同一直角坐标 不存在 10 0 0 系内列表、描点 10 1 1 gx 作图如下： 20 1.301 2 30 1.477 3 40 1.602 4 50 1.699 5 60 1.778 6 4 3)观察两个函数图象及其增长方式： 结论1：虽然函数=lgc与y=0在(0，+∞)上都单调递 增，但它们的增长速度存在明显差异 1 结论2：y=10在0，+∞)上增长速 度不变，y=lgx在(0，+o)上的增长 速度在变化. 1 J-lgr 结论2：随着x的增大，y=x的 10 图象离x轴越来越远，而函数=gx 的图象越来越平缓，就像与x轴平 行一样.