4.2.1 指数函数的概念 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.2.1指数函数的概念 《必修》（第一册）P1~15 问题探究 对于幂ax(a0我们已经把指数的范围拓展到了实 数.上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂 函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方 法.下面继续研究其他类型的基本初等函数. 问题1：随着中国经济高速增 长，人民生活水平不断提高， 旅游成了越来越多家庭的重要 生活方式.由于旅游人数不断 增加，A,B两地景区自2011 年起采取了不同的应对措施， A地提高了景区门票价格，而 B地测取消了景区门票. 下表给出了A,B两地景区2011年至2015年的游客人 次以及逐年增加量. A地景☒ B地景区 时间/年 人次/万次 年增加量/万次 人次/万次 年增加量/万次 2001 600 278 2002 609 9 309 31 2003 620 11 344 35 2004 631 11 383 39 2005 641 10 427 44 2006 650 9 475 48 2007 661 11 528 53 2008 671 10 588 60 2009 681 10 655 67 2010 691 10 729 74 2011 702 11 811 82 2012 711 9 903 92 2013 721 10 1005 102 2014 732 11 1118 113 2015 743 11 1244 126 思考1：比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎 样的变化规律？ 为了有利于观察规律，根据表中的数据描点，然后用光 滑的曲线将离散的点连起来就可以分别画出A,B两地 景区采取不同措施后的15年游客人次的图象， 人次历次 人次历次 1300 1300 1100 1100 900 900 700 700 500 500 300 300 20012003200520072009201120132015 时间年 20012003200520072009201120132015时间年 图4.2-1 图4.2-2 人次万次 人次万次 1300 1300 1100 1100 900 900 700 700 500 500 300 300 20012003200520072009201120132015 时间年 2001 203200520072009201120132015时间年 图4.2-1 图4.22 观察图象和表格，可以发现， A地景区的游客人次 近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等 (约为10万次)；B地景区的游客人次则是非线 性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量 都难以看出变化规律 思考2：我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次 做减法得到的.能否通过对B地景区每年的游客人次做 其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试. 从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的 游客人次，可以得到 2002年游客人次 309 做减法可以得到游客人 ≈1.11， 次的年增加量，做除法 2001年游客人次 278 2003年游客人次 344 可以得到游客人次的年 ≈1.11 增长率。增加量、增长 2002年游客人次 309 率是刻画事物变化规律 2015年游客人次 1244 的两个很重要的量. ≈1.11 2014年游客人次一 1118 结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为 1.11-1=0.11,是一个常数. 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长 因此，B地景区的游客人次近似于指数增长.显然，从 2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描 述为： 1年后，游客人次是2001年的1.111倍： 2年后，游客人次是2001年的1.112倍； 3年后，游客人次是2001年的1.113倍； x年后，游客人次是2001年的1.11x倍. 如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么 y=1.11x(x∈[0，+∞)).① 这是一个函数，其中指数x是自变量. 问题2：当生物死亡后，它机体内原 有的碳14含量会按确定的比率衰减 11 (称为衰减率)，大约每经过5730年 衰减为原来的一半，这个时间称为 “半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死 亡年数之间有怎样的关系？ 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p,如果把刚 死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么 死亡1年后，生物体内碳14含量为(1一p)'; 死亡2年后，生物体内碳14含量为(1一p)2: 死亡3年后，生物体内碳14含量为(1一p)3: 年8市市8 死亡5730年后，生物体内碳14含量为(1一p)50 根据已知条件，(1-p)5=方，从而1-力=（分》，所以p=1-(兮） 53汤 设生物死亡年数为x,死亡生物体内碳14含量为y,那么y