2.3 圆与圆的位置关系（七大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

2.3 圆与圆的位置关系 课程标准 学习目标 （1）能将平面几何关于圆与圆位置关系的定性描述，转化为通过圆的方程判断圆与圆位置关系的定量刻画，给出通过圆的方程判断圆与圆位置关系的基本步骤，并能用于解决给定圆的方程判断位置关系的问题. （2）能通过具体实例归纳出坐标法解决圆与圆位置关系问题的基本步骤，并能用于解决简单的数学问题和实际问题. 1、了解圆与圆的位置关系. 2、掌握圆与圆的位置关系的判断方法. 3、能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题． 知识点01圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 知识点诠释： 判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法． 3、两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 【即学即练1】圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．外离 题型一：判断圆与圆的位置关系 例1．（2023·新疆·高二校联考期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 例2．（2023·江苏·高二假期作业）圆和圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．内含 例3．（2023·福建宁德·高二统考期中）已知圆，则两圆的位置关系为（    ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 变式1．（2023·贵州毕节·高二统考阶段练习）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 变式2．（2023·全国·高二专题练习）圆O：与圆C: 的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 【方法技巧与总结】 利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与R+r、d与R―r的大小关系来判定即可． 题型二：求两圆的交点 例4．（2023·全国·高二专题练习）圆与的交点坐标为 . 例5．（2023·高二课时练习）若一个圆经过点及圆与圆的交点，求此圆的方程． 例6．（2023·全国·高二专题练习）求圆与圆的交点的坐标． 变式3．（2023·高二课时练习）证明下列两圆相切，并求出切点坐标：，． 【方法技巧与总结】 直接联立两圆方程求交点． 题型三：由圆的位置关系确定参数 例7．（2023·全国·高二课堂例题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围是 ． 例8．（2023·高二课时练习）已知与的方程分别为，若两圆相交，则的取值范围是 ． 例9．（2023·高二课时练习）若圆与圆内切，则的值是 ． 变式4．（2023·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知圆与圆相交于两点，且满足，则 ． 变式5．（2023·上海嘉定·高二上海市育才中学校考阶段练习）已知圆C：和点M，O为坐标原点，若圆C上存在点P满足，则r的最大值为 ． 变式6．（2023·全国·高二专题练习）已知圆与圆内切，则的最小值为 变式7．（2023·全国·高二专题练习）已知圆心在原点的单位圆和圆外切， ． 变式8．（2023·全国·高二专题练习）已知点，，若圆上有且只有一点，使得