1.1 探索勾股定理 课件 2023－2024学年北师大版数学八年级上册

第1章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 学习目标 1.经历探索、验证勾股定理的过程,了解勾股定理的各种探究 方法及其内在联系,进一步发展空间概念和推理能力. 2.掌握勾股定理,并能运用勾股定理解决一些实际问题. 探究新知 2002年世界数学家大会在我国北京召开, 下图是本届数学家大会的会标: 会标中央的图案是赵爽弦图,它与“勾股定理”有关 探究新知 无限重复的树状图形 ”毕达哥拉斯树“,根据勾股定理所画,又名“勾股树” 探究新知 观察右边两幅图:完成下表(每个小正方形的边长为单位1). A的面积 B的面积 C的面积 左图 右图 4 ? 怎样计算正方形C的面积呢? 9 16 9 探究新知 方法: 方法一:割 方法二:补 分割为四个直角三角形和一个小正方形. 补成大正方形,用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 探究新知 观察右边两幅图:完成下表(每个小正方形的边长为单位1). A的面积 B的面积 C的面积 左图 右图 4 13 9 16 9 25 图中三个正方形的面积有什么关系吗? SA+SB=SC 设三个正方形的边长分别为a,b,c,你有什么发现? A B C a c b a2+b2=c2 SA =a2 SB =b2 SC =c2 SA+SB=SC 探究新知 知识点 勾股定理 1 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2. 勾股定理: a A B C b c ∟ ∵在Rt△ABC中 ,∠C=90°, ∴a2+b2=c2(勾股定理). 数学语言: 定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系. 勾 股 弦 我国古代把直角三角形中, 较短的直角边称为勾, 较长的直角边称为股, 斜边称为弦 “勾股定理”因此而得名. 我国古代”周髀算经“里就有”勾3股4弦5“的记载 “勾股定理”在西方称为“毕达哥拉斯定理”,相传毕达哥拉斯发现了此定理后非常高兴,杀了一百头牛进行庆祝,因此又被称为“百牛定理”. 数学小知识: 知识点 图形法验证勾股定理 2 如图1,你能把正方形ABCD的面积表示出来吗?有哪些表示方法? 大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . (a+b)2 c2 +4× ab ∵ (a+b)2 = c2 + 4× ab a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴ a2+b2=c2 验证方法一:毕达哥拉斯证法 知识点 图形法验证勾股定理 2 验证方法二:赵爽弦图 大正方形的面积可以表示为_; 也可以表示为_. =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴ a2+b2=c2 c2 4× ab+(b- a)2 ∵ c2= 4× ab +(b-a)2 如图2,你能把正方形ABCD的面积表示出来吗?有哪些表示方法? 知识点 图形法验证勾股定理 2 验证方法三:总统证法 如图是美国总统伽菲尔德(Garfield)于1876年给出的一种验证勾股定理的办法,你能利用它验证勾股定理吗? b c a b c a A B C D S梯形ABCD S梯形ABCD 练习 简单应用 1 例1:如图1-1,从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m,那么需要多长的钢索? 解:∵在Rt△ABC中,∠C=90° 根据勾股定理, ∴AB²=AC²+BC² =8²+6² =64+36 =100=102 ∴AB=10m 答:需要钢索的长度为10m 练习 简单应用 1 例2 在△ABC 中,∠C = 90°. (1)若 a = 6,b = 8,则 c = ; (2)若 c = 13,b = 12,则 a = . 10 5 例3 若直角三角形中,有两边长是 3 和 4,则第三边长的平方 为_ 7或25 1. 如图 ,在 Rt△ABC 中 , ∠C = 90 ° ,AB = 6 ,AC = 4 求以 BC 为边长的正方形的面积. 导学案P32星级达标 当堂练习 导学案P32星级达标 2. 如图 ,在 Rt△ABC 中 , ∠C = 90 ° ,AB = 8 ,AC = 5 ,求以 BC 为直径的半圆的面积. ( 保留 π ) 当堂练习 3. 在 Rt△ABC 中 , ∠C = 90 °,∠A , ∠B , ∠C 的对边分别为 a ,b ,c (1) 已知 a = 7 ,b = 24 ,则 c = . (2) 已知 c = 25 ,b = 15. 则 a = . (3) 已知 a = 3k ,b = 4k ,则 c = . (4) 已知 a :b = 3 :4 ,c = 15 ,则 b = . 导学案P32星级达标 当堂练习 4. 如图 ,盒内长、宽、高分别是16 米、12 米和 15 米 ,盒内可放的棍子最长有多长? ( 提示 : 图中的阴影三角 形是直角三角