专题01 集合（考点归纳与五大题型方法总结）-2023-2024学年高一数学章节复习与专题突破讲与练（人教A版2019必修第一册）

专题01 集合 【考点归纳】 考点1：集合的基本概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性． 【说明】 ① 确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中； ② 互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合应满足. ③ 无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合. 5．元素与集合的关系： （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA． 6．集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. （2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 7．常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 8．空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集． 考点2：集合间的基本关系 1．子集 （1）子集的概念：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）． 用Venn图表示AB如图所示： （2）子集的性质 ① 任何一个集合是它自身的子集，即． ② 传递性，对于集合，，，如果，且，那么． （3）从子集的角度看集合的相等： 如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作．用Venn图表示如图所示． 2．真子集的概念：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）．如果集合是集合的真子集，在Venn图中，就把表示的区域画在表示的区域的内部．如图所示： 4．真子集的性质：对于集合，，，如果，，那么． 【方法技巧与总结】 （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 考点3：集合的基本运算 一、并集的概念与运算 1．文字语言：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集， 记作A∪B，读作“A并B” 2．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 3．图形语言：阴影部分为A∪B 4．性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，如果A⊆B，则A∪B＝B. 二、交集的概念与运算 1．文字语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 2．符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 3．图形语言：阴影部分为A∩B 4．性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，如果A⊆B，则A∩B＝A 三、全集与补集的概念与运算 1．全集 （1）文字语言：一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U. （2）符号语言：若，则为全集. （3）图形语言： 2．补集 （1）文字语言：若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作. （2）符号语言： （3）图形语言： （4）性质：A∪∁UA＝U；A∩∁UA＝∅；∁U(∁UA)＝A. 考点4：集合的运算性质 1．，，． 2．，，． 3．，，． 【方法技巧与总结】 （1）． （2）,． 【题型归纳目录】 题型一：集合中元素的特性及应用 题型二：集合的表示：列举法、描述法 题型三：集合与集合之间的关系及求参数 题型四：集合的运算（交、并、补） 题型五：集合运算有关的参数求解 题型六：集合的新定义运算 【题型归纳】 【题型一】集合中元素的特性及应用 【例1】已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值． 【例2】已知集合． （1）若中只有一个元素，求的值； （2）若中至少有一个元素，求的取值范围； （3）若中至多有一个元素，求的取值范围. 【方法技巧归纳】 1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准． 2．本题在解方程求得a的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分． 提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形． 【变式演练】 1．