精品解析：上海市实验学校2024届高三上学期暑假阶段反馈数学试题

上海实验学校高三暑假阶段反馈数学试卷 2023.08.30 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 不等式的解集为___________． 2. 已知，则___________． 3. 若，其中是虚数单位，则___________． 4. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为；则圆锥母线与底面所成角的余弦值为 5. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为___________． 6. 若数列{an}前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______. 7. 已知，则___________． 8. 已知某八个数据的平均数为5，方差为3，现又新加入一个数据14，此时这九个数据的方差为___________． 9. 函数在区间上严格递增，则实数的取值范围是___________． 10. 若，则三棱锥的体积为___________． 11. 在中，角、、的对边分别为、、，设的面积为，若，则的最大值为______． 12. 设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，第一象限内的点在的右支上，且，则的内心坐标为___________． 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 已知，以下不等关系不一定成立的是（ ） A. B. C D. 14. 已知函数的图像关于点中心对称，则点的坐标是（ ） A B. C. D. 15. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（ ） A. 为定值 B. 的取值范围是 C. 当时，为定值 D. 的最大值为16 16. 十八世纪，数学家欧拉发现简单凸多面体的顶点数V、棱数E及面数F之间有固定的关系，即著名的欧拉公式：.如图所示为上世纪八十年代科学家首次发现的碳60的电子显微镜图，它是由五边形和六边形面构成的多面体，共有60个顶点，每个顶点均为碳原子，且每个顶点引出三条棱，形似足球.根据以上信息知，碳60的所有面中五边形的个数是（ ） A 12 B. 20 C. 32 D. 40 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知函数，，，，它们的最小正周期为. （1）若是奇函数，求和在上的公共减区间D； （2）若的一个零点为，求的最大值. 18. 如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，. （1）求证：； （2）求直线和平面所成角的正弦值. 19. 已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a取值范围． 20. 设分别是椭圆的左、右顶点，点为椭圆的上顶点． （1）若的离心率为，求的方程； （2）设是的右焦点，点是上的任意动点（不在直线上），求的面积S的最大值； （3）设，点是直线上的动点，点和是上异于左、右顶点的两点，且分别在直线和上，求证：直线恒过一定点． 21. 已知函数，． （1）解方程： （2）令，，求证：； （3）若是上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海实验学校高三暑假阶段反馈数学试卷 2023.08.30 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式化为，解一元二次不等式求解集. 【详解】由，即，解得或， 所以不等式解集为. 故答案为： 2. 已知，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】应用诱导公式及平方关系求目标式的值. 【详解】由，又，故. 故答案为： 3. 若，其中是虚数单位，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】应用复数除法化简，进而得到，利用周期性求目标式的值. 【详解】由，则， 所以， 则. 故答案为： 4. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为；则圆锥母线与底面所成角的余弦值为 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：设圆锥的母线长为1，底面圆的半径为r，由题意圆锥的侧面展开图得弧长（即圆锥得底面圆周长）为，由得 圆锥母线与底面所成角的余弦值为. 考点：圆锥的侧面展开图. 5. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】运用导数求得切线方程，再求得切线与两坐标轴的交点，进而可求得三角形面积. 【详解】因为， 所以， 所以，， 所以在点处的切线方程为，即， 令得；令得，