1.1.2菱形的判定 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

1.1 菱形的性质和判定 第一章 特殊的平行四边形 第2 课时 菱形的判定 学习目标 1.经历动手操作、观察、猜想等过程，探究菱形的判定方法．（重点） 2.会用菱形的判定定理进行有关的证明和计算. （难点） 知识回顾 回顾1：菱形的定义？ 边： 角： 对角线： 对称性： 面积： 中心对称图形，轴对称图形 回顾2：菱形具有哪些性质？ 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 两组对边平行且相等，四边都相等 对角相等，邻角互补 对角线互相平分，对角线互相垂直 底×高，对角线乘积的一半 新课引入 思考1：根据菱形的定义，如果判断一个四边形是菱形，则需有什么条件？ 思考2：还有其他的判定方法吗？ 平行四边形 邻边相等 判定1 （定义） ∵ 在平行四边形ABCD中， AB＝BC， ∴ 四边形ABCD是菱形 性质的逆命题是否正确？ 猜想1： 对角线互相垂直的 是菱形? 猜想2： 四条边都相等的 是菱形？ 猜想证明 已知： 求证： 还有其他证明方法吗？ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形? 证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC（平行四边形的对角线相互平分） 又∵ AC⊥BD， ∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线， ∴ AB＝BC， ∴ 四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形） 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD. ▱ABCD是菱形. 归纳新知 几何语言： 菱形的判定定理 定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在▱ABCD中 ， AC⊥BD ∴▱ABCD是菱形 图形语言： 探索新知 思考：已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？ 四 条边相等的四边形是菱形 小刚：分别以A、C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点. C A B D 想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？ 猜想：四条边相等的四边形是菱形. 理论证明 已知： 求证： 还有其他证明方法吗？ 四条边相等的四边形是菱形. 证明：∵ AB=BC=CD=AD; ∴ AB=CD , BC=AD. ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 又∵ AB=BC, ∴ 四边形ABCD是菱形. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA. 四边形ABCD是菱形. 归纳新知 几何语言： 菱形的判定定理 定理 四条边相等的四边形是菱形 在四边形ABCD中 ， AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形 图形语言： 例题练习 例1 如图， ▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3. 求证： ▱ABCD是菱形. 又∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∵ OA=4,OB=3,AB=5， 证明： 即AC⊥BD， ∴ AB2=OA2+OB2， ∴ △AOB是直角三角形， ∴ ▱ABCD是菱形. 做一做 操作： 探索了菱形的判定方法，你能用折纸等方法得到一个菱形么？动手试一试？并说出其中的道理。 操作分享：先将一张长方形的纸对折,再对折,然后沿图中的虚线剪下,将纸展开,就得到了一个菱形. 你能说说这样做的道理吗? 利用轴对称的性质使得四边相等 例题练习 例2 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上, 且AE=AC,EF = ED. 求证：四边形CDEF是菱形. 证明： ∵ AD是角平分线， ∴ ∠1= ∠2, 又∵ AE=AC,AD=AD, ∴ △ACD≌ △AED (SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS) . ∴ CD=ED, CF=EF. 又∵ EF=ED, ∴ CD=ED=CF=EF, ∴ 四边形CDEF是菱形. 2 1 例题练习 例3 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形. A B C D E F O 1 2 平行四边形 邻边相等 对角线垂直 四边形 菱形 证明: