1.2.3矩形的应用 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊的平行四边形 1.2 矩形的性质和判定 第3课时 矩形的应用 1.能灵活运用矩形的性质定理及判定定理解决一 些相关问题。 2.经历矩形性质定理及判定定理的应用过程,体会 数形结合、转化等思想方法。 学习目标 1.矩形的性质和判定有哪些？ 　　性　　质 　　判　定 　边 　角 对角线 对边平行且相等， 邻边垂直 四个角都是直角 对角线相等且互相平分 3.对角线相等的平行四边形. 2.有三个角是直角的四边形. 1.有一个角是直角的平行四边形. 知识回顾 侵权必究 例1.如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长. 提示： △OAB是一个什么样的三角形？ 例题练习 【方法点拨】灵活运用矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及30°角的直角三角形的性质．注意掌握数形结合思想的应用. 侵权必究 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=BO=DO= BD(矩形的对角线相等且互相平分)， ∠BAD=90°（矩形的四个角都是直角）. ∵ED=3BE， ∴BE=OE. 又∵AE⊥BD， ∴AB=AO. ∴AB=AO=BO 即△ABO是等边三角形. ∴∠ABO=60°. 【方法点拨】灵活运用矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及30°角的直角三角形的性质．注意掌握数形结合思想的应用. ∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°. 在Rt △AED中，∵∠ADE=30°， ∴AE= AD= ×6=3 . 例题练习 侵权必究 例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． （1）求证：四边形ADCE为矩形； →矩形的判定 例题练习 侵权必究 （1）证明：∵ AD平分∠BAC,AN平分∠CAM, ∴∠CAD= ∠BAC,∠CAN= ∠CAM. ∴∠DAE=∠CAD+∠CAN= （∠BAC+∠CAM)= ×180°=90° 在△ABC中，AB=AC,AD为∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC. ∴∠ADC=90°. 又CE⊥AN, ∴∠CEA=90°. ∴四边形ADCE为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形). （1）求证：四边形ADCE为矩形(☆规范书写过程) ； 侵权必究 例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． （2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明； 1.两组对边分别平行的四边形 2.两组对边分别相等的四边形 3.一组对边平行且相等的四边形 4.对角线相互平分的四边形 猜想： □ABDE ？ 如何证明四边形为平行四边形？ 例题练习 侵权必究 （2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明； 侵权必究 解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下： 由（1）知，四边形ADCE为矩形， 则AE=CD，AC=DE． 又∵AB=AC，BD=CD， ∴AB=DE，AE=BD， ∴四边形ABDE是平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形). （2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明； = = = 侵权必究 例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． （3）线段DF与AB有怎样的关系？ 请证明你的结论. 分析： 例题练习 侵权必究 （3）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论. 解：DF∥AB，DF=AB． 理由如下：∵四边形ADCE为矩形， ∴AF=CF， ∵BD=CD， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DF= AB 【点拨】灵活运用矩形的判定与性质、等腰三角形三线合一以及三角形中位线的性质，注意掌握数形结合思想的应用. 侵权必究 侵权必究 课堂小结 你从这节课获得的经验是？ 侵权必究 如图，矩形纸片ABCD中，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF。连结CF.（1）四边形AECF是什么特殊的四边形？为什么？ （2）AB=6cm,BC=8cm,求折痕EF的长 A B C D E G F 解：（1）菱形 理由如下： 由翻折可得AE=CE ∠AEF=∠CEF, ∵ 矩形ABCD ∴ AD∥BC ∴∠AFE=∠CEF ∴ ∠AFE=∠AEF ∴ AE=AF ∴CE=AF 且CE∥AF ∴四边形AE