第十二章 模型构建专题：全等三角形中常见的解题模型 正文（作业课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（人教版）

2023秋季学期 《学练优》·八年级数学上·RJ 类型一　几何变换模型 证明：∵点B为线段AC的中点， ∴AB＝BC. ∵AD∥BE，∴∠A＝∠EBC. ∵BD∥CE，∴∠C＝∠DBA. 在△ABD与△BCE中，∠A＝∠EBC， AB＝BC，∠DBA＝∠C， ∴△ABD≌△BCE(ASA)． 1．(2022·乐山中考)如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE.求证：△ABD≌△BCE. 2．(2022·衢州中考)已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AB＝AD. 证明：∵∠3＝∠4， ∴∠ACB＝∠ACD. 在△ACB和△ACD中，∠1＝∠2， AC＝AC，∠ACB＝∠ACD， ∴△ACB≌△ACD(ASA)．∴AB＝AD. 3．(2022·西安莲湖区期末)如图，AC与BD交于点O，连接AB，AD，BC，∠D＝∠C. (1)要使△ABD≌△BAC，只需添加一个条件是 ∠ABD＝∠BAC(答案不唯一) ； (2)根据(1)中你所添加的条件， 你能说明△ABD与△BAC 全等吗？ 解：在△ABD和△BAC中， ∠ABD＝∠BAC， ∠D＝∠C， AB＝BA， ∴△ABD≌△BAC(AAS)． 【图形变式】已知：如图，AC＝BD， AD＝BC. 求证：∠C＝∠D. 类型二　已知两角分别相等 证明：如图，连接AB， 在△ABC和△BAD中， AC＝BD，BC＝AD， AB＝BA， ∴△ABC≌△BAD(SSS)． ∴∠C＝∠D. 4．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F.求∠AFD的度数． 解：∵AC⊥BC，DC⊥EC， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°. ∴∠ACE＝∠BCD. 在△ACE和△BCD中，AC＝BC， ∠ACE＝∠BCD， CE＝CD， ∴△ACE≌△BCD(SAS)．∴∠A＝∠B. 如图，设BC与AE交于点N. ∵∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠ANC＝90°. ∵∠ANC＝∠BNF， ∴∠B＋∠BNF＝∠A＋∠ANC＝90°. ∴∠AFD＝∠B＋∠BNF＝90°. 5．如图①，A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF. (1)求证：△AFC≌△DEB； (2)如果将BD沿着AD边的方向平行移动，点B与点C重合时(如图②所示)，点B在点C右侧时(如图③所示)，其余条件不变，结论是否仍成立？请说明理由． (1)证明：∵AB＝CD， ∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD. ∵DE∥AF，∴∠A＝∠D. 在△AFC与△DEB中，AF＝DE， ∠A＝∠D，AC＝DB， ∴△AFC≌△DEB(SAS)． (2)解：在图②和图③中结论依然成立．理由如下： 在图②和图③中，∵AF∥DE，∴∠A＝∠D. 在图③中，∵AB＝CD， ∴AB－BC＝CD－BC，即AC＝BD. 故无论图②还是图③， 在△ACF与△DBE中，AF＝DE， ∠A＝∠D，AC＝DB， ∴△ACF≌△DBE(SAS)．故结论仍成立． 类型二　一线三等角模型 (∠D＝∠E＝∠ACB) 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E. (1)若∠BDA＝115°， 则∠BAD＝ 25 °，∠DEC＝ 115 °； (2)若DC＝AB， 求证：△ADE是等腰三角形． 证明： ∵∠ADC＝∠EDC＋∠EDA＝∠DAB＋∠B，∠B＝∠EDA＝40°， ∴∠EDC＝∠DAB. 在△ABD和△DCE中，∠DAB＝∠EDC， AB＝DC，∠B＝∠C， ∴△ABD≌△DCE(ASA)． ∴AD＝DE， 即△ADE是等腰三角形． 7．如图，直线MN一侧有一个等腰直角三角形ABC，其中∠ACB＝90°，CA＝CB.直线MN过顶点C，分别过点A，B作AE⊥MN，BF⊥MN，垂足分别为点E，F，∠CAB的平分线AG交BC于点O，交MN于点G，连接BG，恰好满足AG⊥BG.延长AC，BG交于点D. 求证：(1)CE＝BF； (2)AC＋CO＝AB. 证明：(1)∵AE⊥MN， BF⊥MN，∠ACB＝90°， ∴∠EAC＋∠ECA＝∠FCB＋∠ECA＝90°. ∴∠EAC＝∠FCB. 在△AEC和△CFB中， ∠AEC＝∠CFB＝90°， ∠EAC＝∠FCB，AC＝CB， ∴△AEC≌△CFB(AAS)． ∴CE＝BF. (2)∵∠ACB＝90°，AG⊥BG， ∴∠CAO＋∠D＝∠CBD＋∠D＝90°. ∴∠CAO＝∠CBD. 在△ACO和△BCD中， ∠ACO＝∠BCD＝90°，AC＝BC， ∠CAO＝∠CBD， ∴△ACO≌△BCD(ASA)． ∴CO＝CD. ∴AC＋CO＝AC＋CD＝AD. ∵AG平分