第十二章 解题技巧专题：构造全等三角形解决有关问题 正文（作业课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（人教版）

2023秋季学期 《学练优》·八年级数学上·RJ 类型一　遇中线，作倍长中线 如图，延长中线AM到D，使DM＝AM，连接BD，利用“SAS”可证得△ACM≌△DBM， AC＝BD，AC∥BD，∠CAM＝∠D， ∠C＝∠DBM. 1．(2022·武昌区月考)(1)如图①，在△ABC中，AD是中线，求证：AB＋AC＞2AD； 证明：(1)如图①，延长AD至点E，使DE＝AD， 即AE＝2AD，连接BE. 在△CDA和△BDE中，AD＝ED， ∠ADC＝∠EDB，DC＝DB， ∴△CDA≌△BDE(SAS)． ∴AC＝EB. 在△ABE中，AB＋BE＞AE， ∴AB＋AC＞2AD. (2)如图②，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB＋AC＞AD＋AE. (2)由题意知E为CD的中点， 同(1)知AC＋AD＞2AE①. 又∵D是BE的中点， 同(1)知AB＋AE＞2AD②. ①＋②得AC＋AD＋AB＋AE＞2AE＋2AD， 即AB＋AC＞AD＋AE. 【方法应用】 2．(2022－2023·如皋市期中)如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝7，AC＝5，则AD的值可以是( A ) A．5 B．6 C．7 D．8 类型二　截长补短法 截长法：如图①，在△ABC中，∠1＝∠2，AB>AC，在AB上截取AF＝AC，连接DF， 利用“SAS”可证得△ACD≌△AFD. 补短法：如图②，在△ABC中，∠1＝∠2，AB>AC，延长AC至点E，使AE＝AB，连接DE.利用“SAS”可证得△ABD≌△AED. 3．如图，在四边形ABDE中，AB∥DE，C是BD边的中点．若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，猜想线段AE，AB，DE的长度满足的数量关系，并证明． 思路一(截长法)：在AE上截取AF＝AB，连接CF. 解：AE＝AB＋DE.证明如下： ∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC. 在△ACB和△ACF中，AB＝AF， ∠BAC＝∠FAC，AC＝AC，∴△ACB≌△ACF(SAS)． ∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF. ∵C是BD边的中点，∴BC＝CD. ∴CF＝CD.∵∠ACE＝90°， ∴∠ACB＋∠DCE＝90°， ∠ACF＋∠ECF＝90°. ∴∠ECF＝∠ECD. 在△CEF和△CED中， CF＝CD， ∠ECF＝∠ECD， CE＝CE， ∴△CEF≌△CED(SAS)． ∴EF＝ED. ∵AE＝AF＋EF， ∴AE＝AB＋DE. 思路二(补短法)：延长ED到M， 使得DM＝AB，连接CM. 解：AE＝AB＋DE. 证明如下：∵ED∥AB， ∴∠B＝∠CDM. 又∵点C是BD的中点，∴BC＝DC. 在△ABC和△MDC中，AB＝MD， ∠B＝∠CDM，BC＝DC，∴△ABC≌△MDC(SAS)． ∴AC＝MC，∠ACB＝∠MCD. ∵∠ACB＋∠ACD＝180°， ∴∠MCD＋∠ACD＝180°. ∴点A，C，M在同一直线上． ∵∠ACE＝90°， ∴∠MCE＝90°. 在△AEC和△MEC中，AC＝MC， ∠ACE＝∠MCE，CE＝CE， ∴△AEC≌△MEC(SAS)．∴AE＝ME. 又∵EM＝DE＋DM＝DE＋AB， ∴AE＝DE＋AB. 【方法应用】 4．如图①，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，点E，F分别是边BC，CD上的点，连接AE，AF，EF，∠EAF＝∠BAD. (1)直接写出∠BAE，∠DAF，∠EAF 三者之间的数量关系： ∠BAE＋∠DAF＝∠EAF； 解：(2)BE＋DF＝EF.证明如下： 如图①，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG. ∵∠ABC＝∠D＝90°， ∴∠ABG＝∠D. 在△ABG与△ADF中， AB＝AD，∠ABG＝∠D， BG＝DF， ∴△ABG≌△ADF(SAS)． (2)若∠B＝∠D＝90°，猜想线段BE，DF，EF三者之间有怎样的数量关系，并加以证明； ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF. 由(1)得∠BAE＋∠DAF＝∠EAF， ∴∠BAE＋∠BAG＝∠BAE＋∠DAF＝∠EAF，即∠EAG＝∠EAF. 又∵AG＝AF，AE＝AE，∴△AEG≌△AEF(SAS)． ∴EG＝EF. ∵EG＝BE＋BG＝BE＋DF， ∴BE＋DF＝EF. (3)如图②，若点E，F分别是CB，DC延长线上的点，且∠ABC＋∠D＝180°，其他条件不变时，猜想线段BE，DF，EF三者之间有怎样的数量关系，并加以证明． (3)EF＋BE＝DF.证明如下：如图②，在线段DF上截取DH＝BE，连接AH. ∵∠ABC＋∠D＝180°， ∠ABC＋∠ABE＝180°， ∴∠D＝∠ABE. 在△ABE与△ADH中， AB＝AD，∠ABE＝∠D，BE＝DH， ∴△ABE≌△ADH(SA