第6章 6.1.3 向量的减法-【志鸿优化训练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册笔记(人版B版2019)

第六章平面向量初步 +A,A+…+A.-A=A.A 3.向量加法的运算律 (1)交换律：a十b=b十a: (2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 二、规律方法 1,三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连 时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则， 2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行， 3.使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”，和向量的特征是从第一个向量的起点指向第 二个向量的终点，向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0， 三、分类、典例赏析 类型一向量加法的三角形法则和平行四边形法则 【例6一1一2一1】如图(1)(2)，已知向量a,b,c,求作向量a十b和a十b+c. (1) 2 【解】(1)作法：在平面内任意取一点O,作OA=a,AB=b,则OB=a十b 0 (2)在平面内任意取一点O,作OA=a,AB=b,BC=c,则OC=a+b+c. 0 同反思感悟" 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系。 区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”：(2)三角形法测适用于 任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和， 联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的：(2)三角形法测作 出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半， 6.1.3向量的减法 一、知识对标 1,相反向量 (1)定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量.记作：一a. (2)相反向量的性质 ①-0=0.-(-a)=a: ②a+(-a)=(-a)十a=0: ③如果a,b互为相反向量，那么a=一b,b=一a,a+十b=0, 数学· 37 ☑笔记&必记 2.向量的减法 向量a加上b的相反向量，叫做向量a与b的差，即a一b=a十（一b).求两个向量差的运算，叫做向量的 定义 减法。 如果把向量a与b的起点放在O点，那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A,得到的向量B贰就是 作法 a-b. a-b 图示 a A 3.a-|b1,a±b,a+b三若的关系：为|a-1b11≤1a士b1≤al+1b|. 二、规律方法 1.向量诚法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，一AB=BA就可以把减法转化为加 法，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，如a一b=a+(一b), 2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”.解题时要结 合图形，准确判断，防止混淆。 3.以平行四边形ABCD的两邻边AB、AD分别表示向量AB=a,AD=b,则两条对角线表示的向量为 AC=a十b,BD=b一a,D店=a一b,这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握。 三、分类典例赏析 类型一向量减法的几何作图 【例6一1一3-1】如图，已知向量a,b,c不共线，求作向量a十b一c. 【解】方法一如图①，在平面内任取一点O,作OA=a,AB=b,则O店=a+b,再作O元=c,则C克=a+b C a+b ① ② 方法二如图②，在平面内任取一点O,作OA=a,AB=b,则OB=a+b,再作CB=c,连接OC,则 C=a+b-c. O反思感悟 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得 到两个向量的差向量：若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量。 类型二向量减法法则的应用 【例6-1一3一2】化简下列式子： (1NQ-PQ-NM-MP: (2)(AB-CD)-(AC-BD). 【解】(1)原式=P+MN-MP-NP+PN=NP-NP=0. 38 ·数学 第六章平面向量初步 (2)原式=AB-C市-AC+B币=(AB-AC)+(D元-DB)=CB+BC=0. 同反思感悟… 向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量 以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点。 类型三向量减法几何意义的应用 【例6-1一3-3】已知1AB=6,AD1=9,求AB-AD1的取值范围 【解】：IAB-AD1≤AB-AD≤A1十AD1,且AD1=9,AB=6, ∴3≤1AB-AD≤15. 当AD与AB同向时，AB-AD1=3: 当AD与AB反向时，AB-AD1=15. ∴.AB-AD1的取值范围为[3,15]. O反思感悟 (1)如图所示，平行四边形ABCD中，若AB=a,AD=b,则AC=a+b,DB=a-b. (2)在公式|a-|b|≤la+b≤a|+|b|中，当a