第5章 5.3.5 随机事件的独立性&5.4 统计与概率的应用-【志鸿优化训练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册笔记(人版B版2019)

第五章统计与概率 5.3.5随机事件的独立性 5.4统计与概率的应用 一、知识对标 1.相互独立事件的概率 (1)一般地，对两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)·P(B),则称A,B相互独立， (2)如果事件A,A,…,A。相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的 积，即P(A1A:…A.)=P(A1)P(A,)…P(A.) 2.相互独立事件的性质 若A与B是相互独立事件，则A与B.B与A,A与B也相互独立. 二、规律方法 相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件 互斥事件 条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发 不可能同时发生的两个事件 生的概率没有影响 符号 相互独立事件A,B同时发生，记作：AB 互斥事件A,B中有一个发生，记作：AUB(或A十B) 计算公式 P(AB)=P(A)P(B) P(AUB)=P(A)+P(B) 三、分类典例赏析 类型一事件的相互独立性与互斥性 【例5一4一1】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A,B,C进行围棋比赛，甲对A,乙对B、丙对C各一盘. 已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立.求： (1)红队中有且只有一名队员获胜的概率： (2)求红队至少两名队员获胜的概率 【解】设甲胜A的事件为D,乙胜B的事件为E,丙胜C的事件为F, 则D,E,F分别表示甲不胜A,乙不胜B、丙不胜C的事件。 因为P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5. 由对立事件的概率公式知P(D)=0.4,P(E)=0.5,P(F)=0.5. (1)红队有且只有一名队员获胜的事件有DEF,DEF,DEF,以上3个事件彼此互斥且独立. 所以红队有且只有一名队员获胜的概率为P,=P(DEF+DEF+DEF)=P(DEF)+P(DEF)十 P(DEF)=0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5=0.35. (2)(法一)红队至少两人获胜的事件有：DEF,DEF,DEF,DEF 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为P=P(DEF)十P(DEF)十P(DEF)十P(DEF)=O.6X0.5×0.5十 0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55. (法二)“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件DEF,且 P(DEF)=0.4×0.5×0.5=0.1. 故红队至少两人获胜的概率为P,=1一P,-P(DEF)=1-0.35-0.1=0.55. ©反思感悟… (1)本题(2)中用到直接法和问接法.当遁到“至少”“至多”问题可以考虑间接法， 数学· 33 ☑笔记&必记 (2)求复杂事件的概率一般可分三步进行： ①列出规中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们： ②理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件： ③根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算， 类型二统计与概率 【例5一4一2】十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚成.某帮扶单位为帮助定点扶贫村其脱贫，坚持扶贫同扶 智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜袖树上随机摘下了 100个蜜抽进行测重，其质量分别在[1500,1750)，[1750,2000).[2000,2250)，[2250,2500)，[2500， 2750),[2750,3000](单位：克)中，其频率分布直方图如图所示. ◆频率 组距 0.0016 0.0008---=----=------- 0.0006 0.0004 0.0002 09 1500175020002250250027503000质量/克 (1)已经按分层抽样的方法从质量落在[1500,1750)，[2000,2250)的蜜抽中抽取了5个，现从这5个 蜜袖中随机抽取2个.求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率： (2)以各组数据的中间值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还 有5000个蜜柚等待出售，某电商提出了两种收购方案： 方案一：所有蜜柚均以40元千克收购： 方案二：低于2250克的蜜柚以60元个收购，高于或等于2250克的以80元个收购。 请你通过计算为该村选择收益最好的方案， 【解】(1)质量落在[1500,1750)和[2000,2250)中的频率分别是0.1和0.15，分层抽样的方法抽取 5个蜜抽，则[1500,1750)中抽取2个，[2000,2250)中抽取3个，2个蜜抽质量均小于2000的概率为0 (2)方案一好，理由如下： 由频率分布直方图可知，蜜抽质量在[1500,1750)的频率为250×0.0004=0.1