第4章 4.6&4.7 函数的应用（二）& 数学建模活动：生长规律的描述-【志鸿优化训练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册笔记(人版B版2019)

第四章指数函数、对数函数与幂函数加 画出三个函数的图像，如图所示， 由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函 数的增长情况很不相同. 可以看到，尽管方案一，方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固 定不变，而方案三是“指数增长”，但“增长量”是成倍增加的，从第？天开始，方案三比其他两个方案增长得 快得多，这种增长速度是方案一，方案二所无法企及的.从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多：在第 4天，方案一和方案二一样多，方案三最少：在第5~8天，方案二最多：第9天开始，方案三比其他两个方案 所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元， 下面再看累计的回报数.列表如下： 天数 回报/元 10 11 方案 一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 三 0.41.22.8 6 12.425.250.8102 204.4409.2818.8 因此，投资1~6天，应选择方案一：投资7天，应选择方案一或方案二：投资8一10天，应选择方案二： 投资11天（含11天）以上，应选择方案三. O反思感悟一 直线上升反映了一次函数（一次项系数大于0）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）：指数爆炸反映 了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度剧烈（越来越快）：对数增长反映了对数函数（底数大于1） 的增长趋势，其增长速度平最（越来越慢），解题时，注意根据各函数的增长类型选择合渣的西数模型刻画实 际的变化规律， 4.6函数的应用（二） 4.7数学建模活动、生长规律的描述 一、知识对标 几类已知函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=a.x十b(a,b为常数，a≠0) 反比例函数模型 )三+66为常数，且长≠0) 二次函数模型 f(x)=ar+br十c(a,b,c为常数，≠0) 指数型函数模型 f(x)=a'十c(a,b,c为常数，b≠0a>0,且a≠1) 对数型函数模型 f(x)=blog.+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0,且a≠1) 幂函数型模型 f(x)=ax"十b(a,b,a为常数，a≠0) 二、规律方法 函数应用问题的步骤（四步八字） (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型： (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数 数学· 笔记&必记 学模型： (3)求模：求解数学模型，得出数学结论： (4)还原：将数学问题还原为实际间题 三、分类典例赏析 类型建立拟合函数模型解决实际问题 【例4一6一1】某个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列 成下表 投资A种商品金额，万元 3 4 获纯利润/万元 0.65 1.39 L.85 2 1.84 1.40 投资B种商品金额/万元 1 2 3 4 5 6 铁纯利润/万元 0.30 0.59 0.88 1.20 1.51 1.79 该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A,B两种商品各投入多少万元才合算， 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月 可获得的最大纯利润（精确到0.1万元）。 【解】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示。 2 1.2 0.65f 0.6 01234563 0123456x ① 观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模 拟，如图①所示.取(4,2)为最高点，则y=a(x一4)十2(a≠0)，再把点(1,0,65)代人，得0.65=a(1一4)+ 2,解得a=-0.15,所以y=一0.15(x-4)2+2. B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图② 所示。 设y=kx十b(k≠0)，取点(1,0.30)和(4,1.20)代人， 得/0.30=+6 解得/=0.3， 1.2=4k十b b=0. 所以y=0.3.x 设第七个月投入A,B两种商品的资金分别为x万元，(12一x)万元，总利润为W万元，那么W=y十 ym=-0.15(x-4)+2+0.3(12-x), 所以W=-0.15(x-3)+0.15×9+3.2. 当x=3时，W取最大值，约为4.6万元，此时B商品的投资为9万元， 故该经营者下个月把12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品，可获得最大利润，约为 4,6万元. ⊙反思感悟… 在建立和应用函数模型时，准确地把题目要求甑译成数