第4章 4.3&4.4 指数函数与对数函数的关系& 幂函数-【志鸿优化训练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册笔记(人版B版2019)

笔记&必记 4.3 指数函数与对数函数的关系 一、知识对标 反函数 一般地，像y=a°与y=log。x(a>0,且a≠1)这样的两个函数互为反函数. (1)y=a'的定义域R,就是y=logx的值域，而y=a的值域(0，十∞)就是y=logx的定义域， (2)互为反函数的两个函数y=a(a>0,且a≠1)与y=logx(a>0,且a≠1)的图像关于直线y= x对称. (3)互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同. 二、规律方法 y=a‘与x=logy的图像是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y表示因变量，把x=logy 换成y=log.x,y=logx才与y=a关于y=x对称，因为(a,b)与(b,a)关于y=x对称. 4.4幂函数 一、知识对标 幂函数的概念 常见函数的图像与性质 幂函数的特征 1.(1)y=x:(2)y=x:(3)y=x2(4)y=x1:(5)y =x的图像如图. 一般幂函数特征： y=r-I (1)所有的幕函数在(0，十∞)上都有 01 23 定义，并且图像都过点(1,1)： (2)当a>0时，幂函数的图像通过原 点，并且在区间[0，十∞)上是增函数. 一股地，函数y 特别地，当a>1时，幂函数的图像下 凸：当0<a<1时，幂函数的图像上凸： =x”称为幂函 数，其中x是自 (3)当a<0时，幂函数的图像在区间 2.五个幂函数的性质 (0,十o)上是减函数： 变量，a是常数。 y=x y=x y=r y=r-l (4)幂指数互为倒数的幂函数在第 象限内的图像关于直线y=x对称： 定义域 R R R [0,+60) rx≠0 (5)在第一象限，作直线x■a(a>1), 值域 R 0,十9∞) R [0,+∞) yy≠0 它同各幂函数图像相交，按交点从下 奇偶性 奇 四 奇 非奇非四 奇 到上的顺序，幂指数按从小到大的顺 在区间 在区间 序排列. [0,+o∞) (0,+o∞) 上增， 增 增 上减， 单调性 在区间 增 在区间 (-o,0 (-,0） 上减 上减 14 ·数学 第四章指数函数、对数函数与幂函数细 二、规律方法 1.幂函数y=x(a∈R),其中a为常数，其本质特征是以幂的底数x为自变量，指数a为常数，这是判 断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准。 2.在具体应用时，不一定是y=x“a=一1,21,2,3这五个已研究成熟的幂函数，这时可根据需要构 造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质。 三、分类典例赏析 类型一幂函数的概念 【例4一4一1】已知y=(m2+2m一2).x一1+2n一3是幂函数，求mn的值. m=一3，m=1, m3+2m-2=1, 【解】由题意得 解得 2n-3=0, =3,或n=3所以m=一3或1n= 2 n= 2 2· O反思感悟 暴函数与指数函数，对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自专量工，指数 为常数这三个条件，才是幂函数.如：y=3.x2,y=(2.x),y= 都不是幂函数 类型二幂函数的图像及应用 【例4-4-2】若点(2,2)在幂函数f(x)的图像上，点(-2，）在幂函数g(x)的图像上，向当x为何 值时，(1)f(x)>g(.x):(2)f(x)=g(x):(3)f(x)<g(x). 【解】设f(x)=x“,因为点（瓦，2）在幂函数f(x)的图像上，所以，将点(2,2)代入∫(x)=x”中，得 2=(2)“,解得a=2,则f(x)=x.同理可求得g(x)=x 在同一平面直角坐标系里作出函数f(.x)=x2和g(x)=x的图像（如图所示）， 观察图像可得： (1)当x>1或x<-1时，f(x)>g(x): g(x (2)当x=1或x=-1时，f(x)=g(x): (3)当-1<x<1,且x≠0时，f(.x)<g(x). ©反思感悟 由幂函数的定义确定函数解析式，掌握暴函数的图像特点，数形结合可求解关于暴函数的不等式 与方程. 类型三幂函数性质的应用 【例4-4-3】设a=(层)6=（经）e=()】 ,则a,b,c的大小关系是() A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a 【答案】B 【解桥】“y=(号)在R上为减画数（得）<（号）广即a<bf)=在0，十∞)上为增画数， (侵)>（得），即a>cb>a>6.故选B 同反思感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变，此较大小的问题主要是利用函数的单弱性， 特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中何量， 数学· 15