第4章 4.2.3 对数函数的性质与图像-【志鸿优化训练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册笔记(人版B版2019)

第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.2.3对数函数的性质与图像 一、知识对标 1.图像与性质 a>1 0<a<1 ty:y=logx(a>1) 1.0) 图像 7(1.0)x x=1 =log (0cac1】 定义域：(0.十∞) 值域：R 过点(1,0)，即当x=1时，y=0 性质 当x>1时，y>0 当x>1时，y<0, 当0<x<1时，y<0 当0<x<1时，y>0 是(0，十∞)上的增函数 是(0，十)上的减函数 二、规律方法 1.含有对数符号“l0g”的函数不一定是对数函数 判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“og”,还要符合对数函数的概念，即形如y一 1ogx(a>0,且a≠1D的形式如y=210gry=log号都不是对数函数，可称其为对数型函数。 2.研究y=0gf(x)的性质如定义域、值域，比较大小，均需依托对数函数的相应性质. 3.研究与对数函数图像有关的问题，以对数函数图像为基础，加以平移，伸缩、对称或截取一部分. 4.与对数函数有关的复合函数的单调区间，奇偶性，不等式问题都要注意定义域的影响. 三、分类典例赏析 类型一对数函数单调性的应用 命题角度1比较同底对数值的大小 【例4一2一3一1】比较下列各组数中两个值的大小。 (1)log:3.4,log8.5: (2)log:1.8,loga2.7: (3)log.5.1,log.5.9(a>0,且a≠1). 【解】(1)考察对数函数y=logx, 因为它的底数2>1，所以它在(0，+∞)上是增函数. 又3.48.5， 于是1og:3.4<log:8.5. (2)考察对数函数y=log.x,因为它的底数0<0.3<1， 所以它在(0，+∞)上是减函数 又1.8<2.7， 于是1og.,1.8>log.,2.7 (3)当a>1时，y=logx在(0，十∞)上是增函数， 又5.1<5.9， 于是log5.1<log.5.9: 当0<a<1时，y=logx在(0，十∞)上是减函数， 数学· ☑笔记&必记 又5.1<5.9， 于是1og5.1>log.5.9. 综上，当a>1时.log5.1<1og5.9: 当0<a<1时，log.5.1>log.5.9. ⊙反思感悟一 比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性：然后比较真数大小，再利 用对数函数的增减性判断两对数值的大小.对于底数以字母形式出现的，需要对底数进行讨论·对于不同 底的对数，可以估算范图，如1og2og3<1og4,即1<1og3<2,从而借助中间值比较大小. 命题角度2求y-log.f(x)型的函数值域 【例4一2一3一2】函数f(x)=1og(3十1)的值域为 【答案】(0，十∞) 【解析】f(r)的定义拔为R 3>0..3+1>1 y=logx在(0，十)上递增，.log(3+1)>log1=0,即f(x)的值拔为(0，十o∞). ⊙反思感悟一 在通数三要素中，值城从属于定义域和对应关系，故求y=og∫(x)型函数的值域必先求定义域，进而 确定f(x)的范围，再利用对数函数y=logx的单调性求出logf(x)的取值范国， 类型二对数函数的图像 命题角度1画与对数函数有关的函数图像 【例4一2-3-3】画出函数y=1gx一1的图像. 【解】(1)先画出函数y=gx的图像（如图）. 2 (2)再画出函数y=gx的图像（如图）. -2-112 (3)最后画出函数y=1gx一1的图像（如图）. O反思感悟… 现在画图像很少单纯描点，大多是以基本初等函数为“原料”进行加工，所以一方面要掌握一些常见的 12 ·数学 第四章指数函数、对数函数与幂函数 平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义城、值城，单调性、关健点， 命题角度2与对数函数有关的图像变换 【例4-2-3-4】函数f(x)=4十log.(x一1)(a>0,a≠1)的图像过一个定点，则这个定点的坐标 是 【答案】(2,4) 【解析】因为函数y=1og(x一1)的图像过定点(2,0)，所以函数f(x)=4十log(x一1)的图像过定点 (2,4). ©反思感悟 y一f(x)向左平移 a个单位y=f(x+a),y=f(x)向上平移 6个单位y=f(x)+6.对具体函数（如对数函数）仍然 适用. 类型三对数型复合函数的单调性 命题角度1求单调区间 【例4一2-3-5】求函数y=1og1(-x+2.x+1)的值域和单调区间. 【解】设1=-x2十2x十1，则t=-(x-1)十2. y=log1t为减函数，且0<t≤2， y=log12=一1，即函数的值域为[一1，+o∞). 又函数log1(一x+2.x+1)的定义域为-x+2x+1>0,由二次函数的图像知1-√2<x<1+√2. ∴1=一x十2x十1在区间(1一√