第4章 4.2.2 对数运算法则-【志鸿优化训练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册笔记(人版B版2019)

第四章指数函数、对数函数与幂函数细 类型三对数式与指数式的互化 【例4-2-1-3】(1)求36=2中的x: (2)求a4,,的值(a,b,c为正实数且不等于1，N>0). 2 【解】(4)3=3·3=27x=2r=27 （2)aN=(a)w*=e=N [©反思感悟■ 应用对数恒等式时应注意： (1)底数相同： (2)当N>0时才成立，例如y=x与y=a“并非相等的函数. 4.2.2对数运算法则 一、知识对标 内容 若a>0,a≠1，M>0,N>0,则 (1)log.(MN)=log M+log.N. 对数运算性质 (2)log.M"=nlog M(n E R). M (3)log.=log.M-log.N. 对数换底公式为 换账公式 0题N-g0a,b>0a,b≠1N>0 特别地：log,b·1ogd=1(a>0,且a≠1，b>0,且h≠1). 二、规律方法 1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用：使用的关键是恰当选择底数，换底的 目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简， 2.运用对数的运算性质应注意： (1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质. (2)根据不同的间题选择公式的正用或逆用. 三、分类、典例赏析 类型一对数的化简求值 【例4一2-2-1】计算： (1)log145-log5: (2)log(2×4): (3)lgV27+lg8-1gv1000 1g1.2 (4)log:9·log8. 45 【解】(I)log45-log:5=log.5=log,9=log32=21og3=2. 数学· 9 ☑笔记&必记 (2)l0g(2×4)=l0g(2×2°)=10g(2P)=13l0g2=13. 12 (3)原式= g(27×8)-lg102lg(3×2÷10'(0) 2lg103 12 1g10 品 12 122 g10 g10 1 (4)log:9·1og8=l0g(3)·log1(2)=2log3·3log2=6·log:3· 0g3-6. ⊙反思感悟 具体数的化简求值主要遵循两个原则： (1)把数字化为质因数的暴、积、商的形式。 (2)不同底化为同底， 类型二代数式的化简 命题角度1代数式恒等变形 x列 【例4-2-2-2】化简10g.万 【解】 5>0,且x>05>0. .y>0.x>0 -log.()-log.-log.'log.-log -2log.og.log.. log. 可反思感悟一 使用公式要注意成立条件，如lgx不一定等于2gx,反例：logm(-10)=2log1。(一10)是不成立的.要 特别注意log(MWN)≠logM·logN,log(M士V)≠logM±logV. 命题角度2用代数式表示对数 【例4-2-2-3】已知log9=a,18”=5,用a,b表示log45. 【解】（法一），log.9=a,18=5, .logs5=b, 于是logw45 logs45 logi (9X5)logis 9+logs5 a+b a+b log1361og.(18×2)1+1og1w2 182-a 1十l1 Ogis 9 (法二)，l0g9=a,18=5,∴.10ga5=h, 于是log645= og45logu(9×5)logm9+log.5a十b og1.36l0g.(18×18÷9)2logw18-1og92-a (法三)logw9=a,18=5, ..Ig 9=alg 18.lg 5=blg 18. logs45= Ig 45 1g(9X5)Ig 9+1g 5 alg 18+blg 18 a+b lg 36 18 1g 2lg 18-lg 9 21g 18-alg 18 2-a ⊙反思感悟 此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元， 10 ·数学