第4章 4.1.2 指数函数的性质与图像-【志鸿优化训练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册笔记(人版B版2019)

第四章指数函数、对数函数与幂函数 同反思感悟… 指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对 指数进行变形，以达到我们代入，消元等目的. 4.1.2指数函数的性质与图像 一、知识对标 定义 图像与性质 a>1 0<a<1 y=a (1)当a=1时，aF=1(x∈R) y=a 无研究价值.因此规定y=a中 (a>1) 0<a<1) 图像 a>0,且a≠1. 0i -0 (2)要注意指数函数的解析式： 0 0 指数 ①底数是大于0且不等于1的 函数 常数：②指数函数的自变量必须 定义城：R 位于指数的位置上：③a的系数 值域：(0，+o∞) 必须为1：①指数函数等号右边 过点(0,1)，即x=0时，y=1 不是多项式，如y=2十1不是 性质 指数函数， 当x>0时，y>1: 当x>0时，0≤y<1: 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1 是R上的增函数 是R上的减函数 二、规律方法 L.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y=a'(a>0,且a≠1)这一结构形式，即 a‘的系数是1，指数是x且系数为1. 2.指数函数y=a'(a>0,且a≠1)的性质分底数a>1,0<a<1两种情况，但不论哪种情况，指数函数 都是单调的. 3.由于指数函数y一a'(a>0,且a≠1)的定义域为R,即x∈R,所以函数y=a(a>0,且a≠1)与函 数f(x)的定义域相同. 4.求函数y=a(a>0,且a≠1)的值域的方法如下： (1)换元，令t=f(x),并求出函数1=f(x)的定义域； (2)求t=f(x)的值域t∈M: (3)利用y=a'的单调性求y=a'在t∈M上的值域. 5.比较两个指数式值的大小的主要方法： (1)比较形如a"与a”的大小，可运用指数函数y=a的单调性. (2)比较形如a"与b°的大小，一般找一个“中间值c”,若a"<c,且c<b",则a"<b”:若a”>c,且c> b”,则a">b”. 6.解简单指数不等式问题的注意点： (1)形如a>a’的不等式，可借助y=a的单调性求解.如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两 种情况进行讨论. (2)形如a>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y=a'的单调性求解. (3)形如a>b“的不等式，可借助图像求解. 7.(1)研究y=a型单调区间时，要注意a>1还是0<a<1: 数学。 3 了笔记&必记 当a>1时，y=a"与f(.x)的单调性相同： 当0<a<1时，y=a与f(x)的单调性相反. (2)研究y=(a)型单调区间时，要注意a属于∫(u)的增区间还是减区间. 三、分类、典例赏析 类型一求指数函数的解析式 【例4一1一2一1】已知指数函数f(x)的图像过点(3，π)，求函数f(x)的解析式. 【解】设f(x)=a,将点(3，π)代人，得到f(3)=π， 即a2=x,解得a=x产，于是f(x)=. 同反思感悟 (1)根据指数函数的定义，a是一个常数，a'的系数为1，且a>0,a≠1.指数位置是x,其系数也为1，凡 是不符合这个要求的都不是指数函数. (2)要求指数函数f(x)=a'(a>0,且a≠1)的解析式，只霄要求出a的值，要求a的值，只需一个已知 条件即可。 类型二求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域 命题角度1f(a)型 【例4一1一2-2】求下列函数的定义域，值域。 3 1)y=1十3(2)y=-2+1. 【解】(1)函数的定义城为R(:对一切x∈R,3≠一1). y=1+3)-1=1一1+3 1+3 又3>0,1+3>1. 1 011311+30, 60<131∴值域为(0,1). （2定义拔为y=(2)-2+1=包-》+是 :2>02”=,即x=-1时y取最小值子，同时y可以取一切大于子的实数。 ∴值装为[子+)小 反思感悟 解此类题的要点是设a=1,利用指数函数的性质求出1的范围，从可把问题转化为y=f(t)的问题. 命题角度2a型 【例4-1-？-3】求函数y=√3一的定义城，值域。 【解】要使函数有意义，则x应满足3-≥0，甲3≥3 “y=3在眼上是增函数2r-1>-2,解得> 1 故所求函数的定义域为[一2，十一） 4 ·数学 第四章指数函数、对数函数与幂函数细 当xe[-+o∞)时3-∈[g+o∞月 3- g∈[0，+eo. .原函数的值域为[0，十o). O反思感悟 y=a'的定义域即f(x)的定义域，求y=a的值城可先求f(x)的值城，再利用y=a的单调性结 合1=f(x)的范图求y=a'的范图. 类型三指数函数图像的应用 命题角度1指数函数整体图像 【例4一1一2一4】在如图所示的图像中，二次函数y=a.x+bx十c(a≠0)与函数y=（ ) 的图像可能