第4章 4.1.1 实数指数幂及其运算-【志鸿优化训练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册笔记(人版B版2019)

第四章指数函数、对数函数与幂函数细 第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.1指数与指数函数 4.1.1实数指数幂及其运算 一、知识对标 定义或性质 意义或解题思路 意义： 正分数 负分数 0的分数 给定正实数a,对于任意给定的整 指数幂 指数幂 指数幂 分数 数m,n(m,n互素)，存在唯一的正 实数b,使得b=a”,我们把b称 前提条件 a>0,m,n均为正整数，m,n互素 指数幂 为a的次幂，记作b=a a i-a 0号=0 结论 Va" 0“无意义 无理数 无理数指数帮a"(4>0,a是无理 数)是一个确定的正实数.因此，指 指数幂 数幂a的指数取值范围扩充为R 一般地，当a>0,b>0时，有： 化简求值解题思路： 实数指数幂 (1)a"·a"=a"+": 实数指数幂的化简中，先把根式、分式都化为实数指数幂的形 的运算性质 (2)(a")=a: 式，再利用指数幂运算性质化简 (3)(ab)”=a"6,其中m,n∈R 二、规律方法 1.指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的：无括号的先做指数运算，负指数幂化为正指数幂 的倒数，底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，要化成假分数，然后要尽可能 用幂的形式表示，便于运用指数的运算性质. 2.指数幂的运算原则是：一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在 将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质推确求解， 三、分类典例赏析 类型一根式与分数指数幂之间的相互转化 命题角度1：分数指数幂化根式 【例4一1一1一1】用根式的形式表示下列各式(.x>0,y>0). (10x:(2r 【解】(1)x=x. (2)x= O反思感悟… 在实数指数幕的化筒与计算中，分数指数暴形式在应用上比较方便，而在求函数的定义域中，根式形式 数学· ☑笔记&必记 较容易观察出各式的限制条件，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握， 命题角度2：根式化分数指数幂 【例4一1一1一2】把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0,b>0. 1 4b )a:(2)万(3Vav-a. va 【解】(1)/a=aF: (2)1=1 -)-。-。 (4)-a)=a=a=a', ⊙反思感悟 指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后，当a≤0时，a有时有意义，有时无意义.如（一I)于 一1=-1，但(-1)产就不是实数了.为了保证在”取任何有理数时，阳都有意义，所以规定>0.当被开 方数中有负数时，幂指数不能随意约分 类型二运用指数幂运算公式化简求值 【例4一1一1一3】计算下列各式（式中字母都是正数）. a2+(0)-e）, (2)(2a5b2)(-6a3b)÷(-3ab): (3)m十m+2 1ag+偿-号”-(a+悟、吾+号号-a@: 55 (2)原式=[2×(-6)÷(-3)]a76r片÷=4ab°=4a: (3)m+m1+2_(m+m) =m十m O反思感悟 一般地，进行指数暴运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算：化负指数为正指数，化小数为分 数进行运算，便于进行乘除，乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的， 类型三运用指数幂运算公式解方程 【例4-1-1-4】已知a>0,b>0,且a°=b,b=9a,求a的值. 【解】（法一），a>0,b>0,又a“=b, 4=b5→a=(9a)户， a5=g→a=3→a=5. (法二)a=b°，b=9a,∴a’“=(9a)“, 即(a")°=(9a),.a"=9a,a°=9，a=3. 2 ·数学 第四章指数函数、对数函数与幂函数 同反思感悟… 指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对 指数进行变形，以达到我们代入，消元等目的. 4.1.2指数函数的性质与图像 一、知识对标 定义 图像与性质 a>1 0<a<1 y=a (1)当a=1时，aF=1(x∈R) y=a 无研究价值.因此规定y=a中 (a>1) 0<a<1) 图像 a>0,且a≠1. 0i -0 (2)要注意指数函数的解析式： 0 0 指数 ①底数是大于0且不等于1的 函数 常数：②指数函数的自变量必须 定义城：R 位于指数的位置上：③a的系数 值域：(0，+o∞) 必须为1：①指数函数等号右边 过点(0,1)，即x=0时，y=1 不是多项式，如y=2十1不是 性质 指数函数， 当x>0时，y>1: 当x>0时，0≤y<1: 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1 是R上的增函数 是R上的减函数 二、规律方法 L.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y=a'(a>0,且a≠1)这一结构形式，即 a‘的系数是1，指数是x且系数为1. 2