第10讲 抛物线及其性质-2023-2024学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册、选择性必修第二册）

第10讲 抛物线及其性质 【人教A版2019】 ·模块一 抛物线的定义和标准方程 ·模块二 抛物线的几何性质 ·模块三 课后作业 模块一 抛物线的定义和标准方程 1．抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 2．抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 【考点1 动点的轨迹问题】 【例1.1】（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023·全国·高二专题练习）动点满足方程，则点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式1.1】（2022·江苏·高二专题练习）已知圆C与过点且垂直于x轴的直线仅有1个公共点，且与圆外切，则点C的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·全国·高二专题练习）设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【考点2 利用抛物线的定义解题】 【例2.1】（2023秋·福建福州·高三统考开学考试）已知点在抛物线C：上，则P到C的准线的距离为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【例2.2】（2023春·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（    ） A． B． C． D．0 【变式2.1】（2023秋·重庆渝中·高三校考阶段练习）设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【变式2.2】（2023春·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【考点3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 【例3.1】（2023秋·全国·高二期中）已知点在抛物线上，则抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2023秋·重庆铜梁·高二校联考期末）已知抛物线：的焦点为，点为上一点，若，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2023秋·全国·高三校联考开学考试）过抛物线的焦点的直线交于两点，若直线过点，且，则抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2023·全国·高二假期作业）设O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，若，则抛物线C的准线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【考点4 抛物线的标准方程的求解】 【例4.1】（2023·全国·高二专题练习）以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【例4.2】（2023·全国·高二假期作业）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式4.1】（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【考点5 根据抛物线的方程求参数】 【例5.1】（2023春·安徽·高二校联考开学考试）已知O为坐标原点，P是焦点为F的抛物线C：（）上一点，，，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【例5.2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，且与圆上的点之间距离的最小值为4，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式5.1】（2022·全国·高二专题练习）已知点为抛物线上一点，过点A作C准线的垂线，垂足为B．若（O为坐标原点）的面积为2，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【变式5.2】（2022·陕西西安·统考三模）已知抛物线上一点，为其焦点