2.3一元二次不等式及其解法课件（2）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.3二次函数与一元二次方程、不等式 (2) 1.解一元二次不等式ax2+bx+c>0的步骤： 一化：将右边化为 ，二次项系数化为 ； 二解：解方程ax2+bx+c=0. 计算判别式△ ，判断根的个数，并求根； 四写：根据图象写出不等式的解集. 三画：画出y=ax2+bx+c的图象; 若△＞0 ，则利用“大于0取 ，小于0取 ”写出不等式的解集；若△≤0，则结合函数的图象，写出不等式的解集. 判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c (a>0)的图象 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 △>0 有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) {x|x<x1,或 x>x2} {x|x1< x <x2 } △=0 △<0 有两相等实根 x1=x2= {x|x≠ } x1 x2 x y O y x O Φ Φ R 没有实根 y x O x1 探究一： “三个二次”的关系 △=b2- 4ac 二次函数 （ ）的图象 △>0 有两个相异实根 x1, x2 (x1<x2) {x|x<x1,或 x>x2} {x|x1< x <x2 } 思考1: 一元二次不等式的 解集与相应一元二次方程 的根之间有什么关系? 思考2：一元二次不等式 的解集和相应二次函数的 图象与x轴的交点之间有什 么关系? 一元二次不等式的解集的 两个端点值就是相应一元 二次方程的两个根. 一元二次不等式的解集的 两个端点值就是相应二次 函数的图象与x轴交点的 两个横坐标（即二次函数 的两个零点）． 归纳总结 1.关于x的不等式x2＋bx＋c＜0的解集是 {x|2<x<3}，则b＝________，c＝________. 练习 1.关于x的不等式x2＋bx＋c＜0的解集是 {x|2<x<3}，则b＝________，c＝________. 答案： 探究二： 求解含参数的一元二次不等式 解：方程x2－ax－2a2＝0的判别式 Δ＝a2＋8a2＝9a2≥0， 可求得方程两根x1＝2a，x2＝－a. (1)若a＞0，则2a ＞－a ， 此时不等式的解集为{x|－a＜x＜2a}； (2)若a＜0，则2a＜－a， 此时不等式的解集为{x|2a＜x＜－a}； (3)若a＝0，则原不等式即为x2＜0， 此时不等式的解集为∅. 综上所述，原不等式的解集为： 当a＞0时，{x|－a＜x＜2a}； 当a＜0时，{x|2a＜x＜－a}； 当a＝0时，∅. 归纳总结 练习 x o y 探究三： 一元二次不等式的恒成立 归纳总结 O 1．(2012·高考福建卷)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是 ． 练习 解析：∵x2－ax＋2a>0在R上恒成立， ∴Δ＝(－a)2－4·2a<0，即a2－8a<0,0<a<8， 故a的取值范围是 ． 答案： 2.不等式 对于所有的实数 都成立， 试求 的取值范围. 解：由题意知： ①当 ，即 时，不等式化为 ②当 ，即 时，原不等式等价于 恒成立，满足条件. 随堂检测 1.三个“二次”的关系 一元二次不等式解的端点值是对应一元二次方程的根，也是对应一元二次函数的零点. 2.含参一元二次不等式的解法： （1）对二次项系数分是否为0，是正还是负进行讨论； （2）对判别式进行讨论； （3）对相应的一元二次方程根的大小进行分类讨论. 课堂小结 3.一元二次不等式的恒成立问题. 课外作业 2．一元二次方程根与系数的关系(韦达定理): 设方程 的两根为 ,则 ; . 一元二次不等式的解集的两个端点值就是相应一元二次方程的两个根，也是相应二次函数的图象与x轴交点的两个横坐标（即二次函数的两个零点）． 解析：方法1：∵x2＋bx＋c＜0的解集为 {x|2<x<3}， ∴2,3是方程x2＋bx＋c＝0的两个根． 由根与系数的关系，得 ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2＋3＝－b，,2×3＝c.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－5，,c＝6.)) 方法2：∵x2＋bx＋c>0的解集为 {x|2<x<3}， ∴2和3是方程x2＋bx＋c＝0的两个根， 解得 2．若一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x＜－3或x＞5}