2.2 基本不等式课件 (1)-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2基本不等式(1) 《必修》（第一册）P4~P6 复习引入 a=0 a2=0 (a-b)2 2 a,b a=b (a-b)2=0 探究：重要不等式 这是在北京召 开的第24届 国际数学家大 会会标.会标 是根据中国古 代数学家赵爽 的弦图设计的， 颜色的明暗使 它看上去像 一 个风车，代表 2002年国际数学家大会会标 中国人民热情 好客！ 思考1：你能在这个图中找出一些相等关系或不等 关系吗？ C G F H E A B 设AE=,BE=b, 则正方形ABCD的面积 是2+b2 G F 这4个直角三角形的面 H E 积之和是2ab b SE方形ABCD >4 直角三角形” a2+b2 即a2+b2>2ab B a2+b2=2ab成立吗？ 当直角三角形变为等腰直角三角形， 即=b时，正方形EFGH缩为一个点， 这时有a2+b2=2ab G C即当且仅当=b时， F a2+b2=2ab成立. A Va2+b2 B 归纳总结 重要不等式：一般地，a,b∈R,有a2+b2≥2ab, 当且仅当a=b时，等号成立. 思考：你能给出它的证明吗？ .a2+b2-2ab=(a-b)2 当a≠b时，(a-b)2>0, 当a=b时，(a-b)2=0, .(a-b)2≥0，即a2+b2-2ab≥0. 因此a2+b2≥2ab. 当且仅当a=b时，等号成立. 探究三：基本不等式 思考2：如果当a>0,b>0时，用√a,Vb去替换 重要不等式：a2+b2≥2ab中的a,b,你能得到 什么结论？a+b≥2√ab. 通常我们兜上式与作V6≤”中a>0b>0 归纳总结 基本不等式： 如果a>0,b>0,那么√a而≤a+b 2 当且仅当a=b时，等号成立. 说明：(1)4，b均为正数； 均值不等式 (2)当且仅当a=b时，等号成立. 6) a+bn做正数，b的算术平数 叫做b 2 数，b的饥平数 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数. a+b (a>0,b>0) 2 思考3：你能用不等式的性质直接推导出这个基本不等式 吗？ 证明： +b 要证√absa 2 只要把 只要证2√ab ≤a+b. ① 上述过 要证①，只要证2√ab-a+b≤0. 程倒过 来即得 要证②，只要证-(Va-√6)2≤0.® 基本不 要证③，只要证（Va-√b)2≥0.④ 等式 显然，④是成立的.当且仅当=b时，④中的等号成立.