专题09 比例线段（讲+练，五大知识点）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪科版）

专题09 比例线段 ★知识点1：成比例线段的概念 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 典例分析 【例1】（2023春·安徽·九年级校联考阶段练习）下列各组种的四条线段成比例的是（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【例2】（2023·全国·九年级假期作业）如果，且是和的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 【即学即练】 1．（2023·全国·九年级假期作业）线段，，，的长度如下： ①，，，； ②，，，； ③，，，； 以上组数据中，能使，，，构成比例线段的有．（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 2．（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）下列四条线段成比例的是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， ★知识点2：比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 典例分析 【例1】（2022秋·安徽安庆·九年级安庆市石化第一中学校考期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2022秋·安徽滁州·九年级校考期中）已知，则的值为（      ） A． B． C． D． 即学即练 1．（2022秋·安徽滁州·九年级校考期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）已知，则的值是（　　） A． B．5 C． D． ★知识点3 线段的比 典例分析 【例1】（2022秋·河北保定·九年级校联考阶段练习）若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2022·浙江·九年级专题练习）在比例尺为1：10000的地图上，相距4cm的A、B两地的实际距离是（　　） A．400m B．400dm C．400cm D．400km 即学即练 1．（2021春·全国·九年级专题练习）三条线段、、，满足，那么（    ） A．1：6 B．6：1 C．1：3 D．3：1 2．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，线段AB的长为4，则线段AC的长是（      ） A．2－2 B．6－2 C．－1 D．3－ ★知识点4 由平行线判断成比例的线段 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线（不少于三条）所截，截得的对应线段成比例。 典例分析 【例1】（2023春·山西临汾·九年级统考开学考试）如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（　　）    A． B． C． D． 【例2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D． 即学即练 1．（2023·广东佛山·佛山市华英学校校考三模）如图，，点B，E分别在上，，则长为（        ）    A．4 B．2 C． D． 2．（2022秋·安徽安庆·九年级安庆市石化第一中学校考期中）如图，，，，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D． ★知识点5 黄金分割 若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 典例分析 【例1】（2023·浙江嘉兴·统考二模）神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家发现蝴蝶身长与双翅张开后的长度之比约为． 这个数据体现了数学中的（   ）    A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．黄金分割 【例2】（2022秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，乐器上的一根弦，两个端点、固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则的长为（    ）    A． B． C． D． 即学即练 1．（2023·云南昆明·统考二模）如果矩形满足，那么矩形叫做“黄金矩形”，如图，已知矩形是黄金矩形，对角线，相交于且，则关于黄金矩形，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D．矩形的周长 2．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如