专题10 相似三角形的判定（讲+练，四大知识点）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪科版）

专题10 相似三角形的判定 ★知识点1：相似三角形的判定-平行法 平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． 典例分析 【例1】1（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在中，、分别是、边上的高．求证：． 【例2】（2023秋·辽宁铁岭·九年级统考阶段练习）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 即学即练 1．（2023秋·广东河源·九年级校考期末）如图，，与交于点E. (1) (2)若，，，求的长； 2．（2023秋·陕西宝鸡·九年级统考期末）如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，且，，． (1)求证：； (2)已知，求． ★知识点2：相似三角形的判定-三边对应成比例 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在与中，如果，那么∽． A B C A1 B1 C1 【例1】（2023秋·九年级课前预习）如图，已知，，，，且，求证：． 【例2】（2021秋·北京昌平·九年级期中）如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中有△ABC和△DEF．求证：△ABC∽△DEF． 【即学即练】 1．（2021秋·山东济南·九年级统考期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由． 2．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在7×6的正方形网格中，点A、B、C、D在格点（小正方形的顶点）上，从点A、B、C、D四点中任取三点，两两连接，得到一个三角形，请在所得的所有三角形中，写出互为相似的两个三角形及它们的相似比． ★知识点3：判定定理-两角对应相等 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 如图，在与中，如果、，那么． A B C A1 B1 C1 要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 典例分析 【例1】（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、边AB上，且∠ADE＝∠B，求证：△ADC∽△DEB． 【例2】（2022秋·湖南衡阳·九年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，DCAB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F． (1)求证：△ABF∽△ECF； (2)若AB＝8，，求CE的长． 即学即练 1．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°．求证：△ACD∽△BEC 2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边上一点，且满足． (1)证明：； (2)若，，求AB的长． ★知识点4 判定定理-两边对应成比例且夹角相等 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在与中，，，那么． A B C A1 B1 C1 此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 典例分析 【例1】（2023秋·甘肃天水·九年级校考期末）如图，在和中，，且． 求证：． 【例2】（2022春·九年级课时练习）已知：如图所示，相交于点O，连接，且，求证：． 即学即练 1．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，与中，，；证明：．    2．（2023秋·吉林白山·九年级校考期末）【教材原题】如图①，在中，，且，，图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ； 【改编】将图①中的绕点A按逆时针方向旋转到如图②所示的位置，连接、．求证：； 【应用】如图③，在和中，，，点D在边上，连接，则与的面积比为__________． 1．（2022秋·湖南株洲·九年级统考期中）如图，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·吉林长春·八年级长春外