考点06 作辅助线构造全等三角形的七大方法-【考点通关】2023-2024学年八年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版）

考点06 作辅助线构造全等三角形的7大方法 1 倍长中线构造全等三角形 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 2 截长补短构造全等三角形 【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。 【模型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2） 补短：将短线段延长，证与长线段相等。 3 半角全等模型 【模型分析】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。 【常见模型】 常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 4 平行线法构造全等三角形 若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△，有时可作出斜边的中线。 5 作垂线法构造全等三角形 在处理几何问题时，遇到无法直接得出关系的线段时，看到“正方形”，“等腰直角三角形”“旋转90°角”等字眼，可以尝试通过作垂线的方式来构造两个全等三角形。 6 补全图形法构造全等三角形 当题目中出现等腰三角形、等腰直角三角形、垂直平分线等，可采用补全图形的方法构造全等三角形，目的是为了补全图形，利用特殊的性质解决问题。 7 旋转构造全等三角形 若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形。 考点1 倍长中线构造全等三角形 考点2 截长补短构造全等三角形 考点3 半角旋转构造全等三角形 考点4 平行线法构造全等三角形 考点5 作垂线法构造全等三角形 考点6 补全图形法构造全等三角形 考点7 旋转构造全等三角形 考点1 倍长中线构造全等三角形 1．（2023秋·全国·八年级专题练习）【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段至点E，使，连接．请根据小明的方法回答下列问题． (1)由已知和作图能得到的理由是____________． A．        B．        C．        D． (2)探究得出的取值范围___________． A．        B．        C．        D． 【问题解决】 (3)如图2，在中，，，是的中线，求证：． 2．（2022秋·甘肃庆阳·八年级校考期末）小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值 范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)小明证明用到的判定定理是： (用字母表示)； (2)的取值范围是 ； (3)小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在中，为边上的中线，且平分，求证：． 3．（2023秋·甘肃定西·八年级校考期末）（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________，中线的取值范围是___________； （2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：； （3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系，并直接写出与的关系． 4．（2023·全国·八年级专题练习）【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围． 小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE． 在△ABD与