考点10 二次函数中6大特殊图形的存在性问题-【考点通关】2023-2024学年九年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版）

考点10 二次函数中6大特殊图形的存在性问题 1 等腰三角形的存在性解决方法 画弧法：以等腰三角形确定边两端点分别为圆心，确定边长度为半径画弧，与动点所在直线的交点即为所求点，另外确定边的垂直平分线与动点所在直线的交点即为所求点。 2 直角三角形的存在性的解决方法 ①运用勾股定理：a²+b²=c² ②运用剥离法（参照圆证明玻璃法的运用） 3 平行四边形的存在性问题的解决方法 利用线段长解析式=定值长（平行四边形对边平行且相等）列方程求值 1. 线段中点坐标公式 平面直角坐标系中，点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则线段AB的中点坐标为。 2.平行四边形顶点坐标公式 ABCD的顶点坐标分别为A（xA，yA）、B（xB，yB）、C（xC，yC）、D（xD，yD），则：xA+xC=xB+xD； yA+yC=yB+yD。 即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等。 4 相似三角形的存在性问题的解决方法 相似三角形存在性问题，分类讨论步骤： 第一步：找到题目中已知三角形和待求三角形中相等的角； 要先确定已知三角形是否有直角，或确定的对应角； ①若有已知的相等角，则其顶点对应； ②若没有相等的角，则让不确定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。 第二步：确定相似后，根据对应边成比例求解动点坐标： ①若已知三角形各边已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小； ②若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后用相似来列方程求解。 5 菱形的存在性问题的解决方法 菱形依据，有一组邻边相等的平行四边是是菱形。 对比于平行四边形的判定，还有邻边相等条件，因此，相比较于平行四边形(AC作为对角线），坐标系中还需要满足以下三个等式： 解题方法：(在平行四边形的基础上增加对角线垂直或者邻边相等) (1)选定点、半动点组成的三角形，三边作为对角线再分类讨论； (2)利用中点坐标公式列方程：；（AC为对角线时） (3)对角线垂直： 或者邻边相等： 6 矩形的存在性问题的解决方法 1两点间坐标公式; 2平行四边形顶点公式; 3矩形的判别：对角线相等的平行四边形 平面四点坐标A（，），B（ ，），C（），D（，） 由以上得到矩形判别公式：（以AC，BD为对角线为例） 二、公式解读： 上式中①和②式子是判定平行四边形依据，③式为对角线相等，从而判定为矩形。 由上可以知矩形最多可以有三个未知量，带入以上方程组可以得到一个三元一次方程组，可解。 由三个未知量，则可以判别出矩形至少有两个动点，最多可以有三个动点。 （1） 两个定点+1个全动点+一个半动点 （2） 一个定点+3个半动点。 注释：（半动点是横纵坐标其中一个已知，一个未知） 3、 求解方法： 确定半动点和定点----分类讨论-----列出公式求解。 考点1 等腰三角形的存在性解决方法 考点2 直角三角形的存在性的解决方法 考点3 平行四边形的存在性问题的解决方法 考点4 相似三角形的存在性问题的解决方法 考点5 菱形的存在性问题的解决方法 考点6 矩形的存在性问题的解决方法 考点1 等腰三角形的存在性解决方法 1．（2023·浙江·九年级假期作业）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如图，点P在x轴上方的抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是等腰三角形，求点D的坐标． 2．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）如图，抛物线y＝ax2+3x+c经过A(﹣1，0)，B(4，0)两点，并且与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)直线BC的解析式为 ； (3)若点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t，过点M作x轴的垂线交BC于点N，设MN的长为h，求h与t之间的函数关系式及h的最大值； (4)在x轴的负半轴上是否存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，请证明；如果不存在，说明理由． 3．（2023春·天津·九年级专题练习）已知抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于点A，点B（点A在点B左侧）． (1)求点A，点B的坐标； (2)用配方法求该抛物线的顶点C的坐标，判断△ABC的形状，并说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使以点O、点C、点P为顶点的三角形构成等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，抛物线经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点坐标． 考点2 直角三角形的存在性的解决方法 5．（2022秋·四川广安·九年级校考期